Cho tứ diện SABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC

Bài 3 : Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 7 trang 105 Toán 11: Cho tứ diện SABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại B. trong mặt phẳng (SAB) kẻ AM vuông góc với SB tại M. trên cạnh SC lấy điểm N sao cho SM/SB = SN/SC. Chứng minh rằng:

a) BC ⊥ (SAB) và AM ⊥ (SBC)

b) SB ⊥ AN

Trả lời

a) Ta có: SA ⊥ (ABC) ⊃ BC ⇒ SA ⊥ BC (1)

∆ABC vuông tại B ⇒ AB ⊥ BC (2)

Từ (1) và (2) ⇒ BC ⊥ (SAB)

Theo bài ra ta có: AM ⊂ (SAB)

⇒ BC ⊥ AM (3). Và AM ⊥ SB (4)

Từ (3) và (4) suy ra AM ⊥ (SBC)

b) Ta có: SM/SB = SN/SC

Theo định lý Ta-lét trong tam giác, ta có MN // BC

Mà SB ⊥ BC (do BC ⊥ (SAB) và SB ⊂ (SAB))

Suy ra SB ⊥ MN. Mặt khác: AM ⊥ SB ⇒ SB ⊥ (AMN)

Do AN ⊂ (AMN) nên SB ⊥ AN