Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Chứng minh rằng khoảng cách

Bài 5: Khoảng cách

Bài 3.33 trang 160 Sách bài tập Hình học 11: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Chứng minh rằng khoảng cách từ các điểm A', B, D; C, B', D tới đường chéo AC' bằng nhau. Tính khoảng cách đó.

Lời giải:

Điểm A cách đều ba đỉnh của tam giác đều A'BD vì ta có AB = AD = AA′ = a, điểm C' cũng cách đều ba đỉnh của tam giác đều đó vì ta có:

C′B = C′D = C′A′ = a√2

Vậy AC' là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác A'BD, tức là đường thẳng AC' vuông góc với mặt phẳng (A'BD) tại trọng tâm I của tam giác A'BD. Ta cần tìm khoảng cách A'I.

Ta có A′I = BI = DI = 2A′O/3 với O là tâm của hình vuông ABCD

Ta lại có

Vậy

Tương tự điểm C' cách đều ba đỉnh của tam giác đều CB'D', tính được khoảng cách từ C, B', D' tới đường chéo AC'.