Cho tứ diện ABCD . Tìm điểm O cách đều bốn đỉnh của tứ diện

Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 15 (trang 102 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho tứ diện ABCD . Tìm điểm O cách đều bốn đỉnh của tứ diện

Lời giải:

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp của ΔBCD. Gọi d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với mp(BCD).

Suy ra: IB = IC = ID

Theo kết quả bài 14: Hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên của chúng bằng nhau. Do đó, với điểm M bất kì thuộc d ⇔ MB = MC = MD (d là trục của đường tròn ngoại tiếp (BCD))

Gọi O là giao điểm của d với mặt phẳng trung trực của AB.

=> OA = OB ( vì O thuộc mặt phẳng trung trực của AB).

Và OB = OC = OD ( vì O thuộc đường thẳng d).

Suy ra :OA = OB = OC = OD hay O cách đều bốn đỉnh của tứ diện (O gọi là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD)