Vậy các cạnh đối diện của tứ diện đó vuông góc với nhau

Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 20 (trang 103 sgk Hình học 11 nâng cao):

a) Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD, AC ⊥ BD. Chứng minh rằng AD ⊥ BC. Vậy các cạnh đối diện của tứ diện đó vuông góc với nhau. Tứ diện như thế gọi là tứ diện trực tâm.

b) Chứng minh các mệnh đề sau đây là tương đương.

i) ABCD la tứ diện trực tâm.

ii) Chân đường cao của tứ diện hạ từ một đỉnh trùng với trực tâm của mặt đối diện.

iii) chứng minh rằng bốn đường cao của tứ diện trực tâm đồng quy taị 1 điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tứ diện nói trên.

Lời giải:

c) Gọi K là trực tâm tam giác ACD thì K nằm trên AI (với BI ⊥ CD). Từ đó suy ra AH và BK cắt nhau do chúng cùng thuộc mp(ABI)

Tương tự bốn đường cao của tứ diện trực tâm cắt nhau đôi một và không cùng nằm trên một mặt phẳng nên chúng đồng quy.