Chứng tỏ rằng hai tứ giác có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau

Bài 5: Hai hình bằng nhau

Bài 21 (trang 23 sgk Hình học 11 nâng cao):

a) Chứng tỏ rằng hai tứ giác có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau và một cặp đường chéo tương ứng bằng nhau thì bằng nhau

b) Chứng minh rằng hai tứ giác có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau và một cặp góc tương ứng bằng nhau thì bằng nhau

c) Hai tứ giác có các cặp canh tương ứng bằng nhau thì có bằng nhau hay không?

Lời giải:

a) Giả sử hai tứ giác lối ABCD và A’B’C’D’ có AB =A’B’, BC=B’C’, CD=C’D’, DA=D’A’ VÀ AC=A’C’. Khi đó hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau nên có phép dời hình F biến 3 điểm A, B, C lần lượt thành ba điểm A’, B’, C. Gọi D’’ là điểm đối xứng với D’ qua đường thẳng A’C’ thì 2 tam giác A’C’D’ và A’C’D’’ bằng nhau và theo giả thiết, cùng bằng tam giác ACD. Bởi vậy phép F chỉ có thể biến điểm D thành điểm D’ hoặc D’’ (do phép dời hình bảo toàn độ dài đoạn thẳng)

Vì ABCD là tứ giác lồi nên hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau. A’B’C’D’ cũng là tứ diện lồi nên hai đoạn thẳng A’C’ và B’D’ cắt nhau và do đó hai đoạn thẳng A’C’ và B’D’’ không cắt nhau. Từ đó suy ra F biến D thành D’. Vậy F biến tứ giác ABCD thành tứ giác A’B’C’D ’ và do đó 2 tứ giác đó bằng nhau

b) Giả sử 2 tứ giác ABCD và A’B’C’D’ có AB = A’B’, BC = B’C’ , CD = C’D’, DA = D’A’ và góc ABC bằng A’B’C. Khi đó AC = A’C’ và ta đưa về trường hợp ở câu a

c) Có thể không bằng nhau. Hai hình thoi có cạnh bằng nhau nhưng có thể là hai hình không bằng nhau ( vì phép dời hình biến góc thành góc bằng nó)