Cho tanα + cotα = 2. Tính giá trị của biểu thức tan3α +cot3α.

Giải sách bài tập Toán 11 Bài 2: Giá trị lượng giác của một góc lượng giác - Chân trời sáng tạo

Bài 9 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1:

a) Cho tanα + cotα = 2. Tính giá trị của biểu thức tan³α +cot³α.

b) Cho $\sin α + \cos α = \frac{1}{4} .$ Tính giá trị của sinαcosα.

c) Cho $\sin α + \cos α = \frac{1}{2} .$ Tính giá tị của biểu thức sin³α + cos³α.

Lời giải:

a) tan³α + cot³α = (tanα + cotα)³ ‒ 3tanαcotα(tanα + cotα)

= (tanα + cotα)³ ‒ 3 (tanα + cotα)

2³ ‒ 3.2 = 2.

b) (sinα + cosα)² = sin²α + cos²α + 2 sinαcosα = 1 + 2 sinαcosα.

Do đó $sin α cos α = \frac{1}{2} [{(sin α + cos α)}^{2} - 1] = \frac{1}{2} [{(\frac{1}{4})}^{2} - 1] = - \frac{15}{32}$

c) sin³α + cos³α

= (sinα + cosα)(sin²α ‒ sinαcosα + cos²α)

= (sinα + cosα)(1 ‒ sinαcosα)

Mà $sin α cos α = \frac{1}{2} [{(sin α + cos α)}^{2} - 1] = \frac{1}{2} [{(\frac{1}{2})}^{2} - 1] = - \frac{3}{8}$ , nên

${sin}^{3} α + {cos}^{3} α = \frac{1}{2} \cdot [1 - (- \frac{3}{8})] = \frac{1}{2} \cdot \frac{11}{8} = \frac{11}{16}$

Lời giải SBT Toán 11 Bài 2: Giá trị lượng giác của một góc lượng giác hay khác: