Hình vuông ABCD có cạnh bằng 1, người ta nối trung điểm các cạnh liên tiếp của nó

---

Hình vuông ABCD có cạnh bằng 1, người ta nối trung điểm các cạnh liên tiếp của nó để tạo thành tứ giác EFGH, tiếp tục như vậy được tứ giác mới IKPQ (Hình 15).

Giải SBT Toán 9 Bài 2: Tứ giác nội tiếp đường tròn - Cánh diều

Bài 21 trang 91 SBT Toán 9 Tập 2: Hình vuông ABCD có cạnh bằng 1, người ta nối trung điểm các cạnh liên tiếp của nó để tạo thành tứ giác EFGH, tiếp tục như vậy được tứ giác mới IKPQ (Hình 15).

Chứng minh:

a) Tứ giác EFGH và tứ giác IKPQ là các tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Tỉ số bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác EFGH bằng tỉ số bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác EFGH và bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác IKPQ.

Lời giải:

a) Do ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA và $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}=90°.$

Do E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA nên AE = EB = BF = FC = CG = GD = DH = HA.

Xét ∆AHE và ∆BFE có:

$\widehat{A}=\widehat{B}=90°,$ AH = BF, AE = BE

Do đó ∆AHE = ∆BFE (hai cạnh góc vuông).

Suy ra HE = FE (hai cạnh tương ứng).

Tương tự, ta chứng minh được HE = EF = FG = GH.

Khi đó, tứ giác EFGH là hình thoi.

Xét ∆AHE có $\widehat{A}=90°$ và AH = AE nên ∆AHE vuông cân tại A, suy ra $\widehat{AEH}=45°.$

Tương tự, ta có $\widehat{BEF}=45°$

Do đó $\widehat{HEF}=180°-\widehat{AEH}-\widehat{BEF}=180°-45°-45°=90°.$

Như vậy, hình thoi EFGH là hình vuông. Suy ra EFGH nội tiếp đường tròn.

Chứng minh tương tự ta được tứ giác IKPQ là hình vuông và nội tiếp đường tròn.

b) ⦁ Xét ∆ABC vuông cân tại B (do $\widehat{B}=90°$ và BA = BC) , theo định lí Pythagore, ta có:

AC² = AB² + BC² = AB² + AB² = 2AB².

Suy ra $AC=AB\sqrt{2}.$

Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD là: $R_1=\frac{AC}{2}=\frac{AB\sqrt{2}}{2}.$

⦁ Tương tự, với ∆AHE vuông cân tại A, ta có: $HE=AE\sqrt{2}=\frac{AB\sqrt{2}}{2}.$

Với ∆HEF vuông cân tại E, ta có: $HF=HE\sqrt{2}=\frac{AB\sqrt{2}}{2}\cdot \sqrt{2}=AB.$

Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông EFGH là: $R_2=\frac{HF}{2}=\frac{AB}{2}.$

⦁ Chứng minh tương tự, ta có bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông IKPQ là: $R_3=\frac{IP}{2}=\frac{IK\sqrt{2}}{2}=\frac{IE\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{2}=IE=\frac{HE}{2}=\frac{\frac{AB\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{AB\sqrt{2}}{4}.$

⦁ Ta có tỉ số bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác EFGH là: $\frac{R_1}{R_2}=\frac{\frac{AB\sqrt{2}}{2}}{\frac{AB}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 2=\sqrt{2}.$

Tỉ số bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác EFGH và bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác IKPQ là: $\frac{R_2}{R_3}=\frac{\frac{AB}{2}}{\frac{AB\sqrt{2}}{4}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.$

Vậy tỉ số bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác EFGH bằng tỉ số bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác EFGH và bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác IKPQ.

Lời giải SBT Toán 9 Bài 2: Tứ giác nội tiếp đường tròn hay khác:

• Bài 12 trang 90 SBT Toán 9 Tập 2: Tìm phát biểu sai trong các phát biểu sau ....

• Bài 13 trang 90 SBT Toán 9 Tập 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Tính số đo mỗi góc còn lại của tứ giác đó trong mỗi trường hợp sau ....

• Bài 14 trang 90 SBT Toán 9 Tập 2: Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai dây không đi qua tâm ....

• Bài 15 trang 90 SBT Toán 9 Tập 2: Ở Hình 13, hai đường tròn (O), (O’) giao nhau tại A, B và CD là một dây cung ....

• Bài 16 trang 90 SBT Toán 9 Tập 2: Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác đều ABC. Điểm E nằm trên cung nhỏ ....

• Bài 17 trang 90 SBT Toán 9 Tập 2: Cho tam giác ABC cân ở A, H là trung điểm của BC và ....

• Bài 18 trang 91 SBT Toán 9 Tập 2: Cho $\widehat{xAy}=60°$ và điểm B nằm trong góc xAy. Kẻ đường thẳng BN vuông góc ....

• Bài 19 trang 91 SBT Toán 9 Tập 2: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M. Đường thẳng qua C ....

• Bài 20 trang 91 SBT Toán 9 Tập 2: Chứng minh rằng mỗi hình thang cân là một tứ giác nội tiếp đường tròn ....

• Bài 22* trang 91 SBT Toán 9 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại C và nội tiếp đường tròn (O; R). E là điểm tuỳ ý ....