Cho phương trình x^2 + x - 2 - căn bậc hai 2 trang 71 SBT Toán 9 Tập 2

Giải SBT Toán 9 Bài 3: Định lí Viète - Cánh diều

Bài 25 trang 71 SBT Toán 9 Tập 2: Cho phương trình $x^{2} + x - 2 + \sqrt{2} = 0.$

a) Chứng tỏ rằng phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ trái dấu.

b) Không giải phương trình, tính:

$A = x_{1}^{2} + x_{2}^{2}; B = x_{1}^{3} + x_{2}^{3};$ $C = \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}};$ D = |x₁– x₂|.

Lời giải:

a) Phương trình $x^{2} + x - 2 + \sqrt{2} = 0$ có

$Δ = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 + \sqrt{2}) = 9 - 4 \sqrt{2} > 0.$

Do đó phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lí Viète, ta có $x_{1} x_{2} = - 2 + \sqrt{2} .$

Ta thấy tích của hai nghiệm là $- 2 + \sqrt{2} < 0.$

Do đó phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ trái dấu.

b) Theo định lí Viète, ta có $x_{1} + x_{2} = - 1; x_{1} x_{2} = - 2 + \sqrt{2} .$ Khi đó:

⦁ $A = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2 x_{1} x_{2} - 2 x_{1} x_{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2}$

$= {(- 1)}^{2} - 2 (- 2 + \sqrt{2}) = 1 + 4 - 2 \sqrt{2} = 5 - 2 \sqrt{2} .$

⦁ $B = x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = (x_{1} + x_{2}) (x_{1}^{2} - x_{1} x_{2} + x_{2}^{2})$

$= (x_{1} + x_{2}) (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2 x_{1} x_{2} - 3 x_{1} x_{2})$

$= (x_{1} + x_{2}) [{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 3 x_{1} x_{2}]$

$= - 1 \cdot [{(- 1)}^{2} - 3 (- 2 + \sqrt{2})]$

$= - (1 + 6 - 3 \sqrt{2})$

$= - 7 + 3 \sqrt{2} .$

⦁ $C = \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1} \cdot x_{2}} = \frac{- 1}{- 2 + \sqrt{2}} = \frac{1}{2 - \sqrt{2}}$

$= \frac{1}{2 - \sqrt{2}} = \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}$

$= \frac{2 + \sqrt{2}}{4 - 2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} .$

⦁ D = |x₁– x₂|

$D^{2} = {|x_{1} - x_{2}|}^{2} = {(x_{1} - x_{2})}^{2} = x_{1}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}$

$= {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2}$

$= 1 - 4 \cdot (- 2 + \sqrt{2}) = 1 + 8 - 4 \sqrt{2}$

$= 9 - 4 \sqrt{2} = {(2 \sqrt{2})}^{2} - 2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 1 + 1^{2} = {(2 \sqrt{2} - 1)}^{2} .$

Do đó $D = \sqrt{{(2 \sqrt{2} - 1)}^{2}} = |2 \sqrt{2} - 1| = 2 \sqrt{2} - 1.$

Lời giải SBT Toán 9 Bài 3: Định lí Viète hay khác: