Cho phương trình –x^2 + 5kx + 4 = 0. Tìm các giá trị k để phương trình có hai nghiệm

Giải SBT Toán 9 Bài 3: Định lí Viète - Cánh diều

Bài 26 trang 71 SBT Toán 9 Tập 2: a) Cho phương trình –x²+ 5kx + 4 = 0. Tìm các giá trị k để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂thỏa mãn điều kiện

b) Cho phương trình kx²– 6(k – 1)x + 9(k – 3) = 0(k ≠ 0). Tìm các giá trị k để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂thỏa mãn điều kiện x₁+ x₂– x₁x₂= 0.

Lời giải:

a) Phương trình có ∆ = (5k)² ‒ 4.(‒1).4 = 25k² + 16.

Do k² ≥ 0 nên 25k² + 16 > 0.

Do đó phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lí Viète ta có:x₁ + x₂ = 5k; x₁x₂ = ‒4.

Theo bài, $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 6 x_{1} x_{2} = 9$

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + 4 x_{1} x_{2} = 9$

${(x_{1} + x_{2})}^{2} + 4 x_{1} x_{2} = 9$

Thay x₁ + x₂ = 5k và x₁x₂ = ‒4 vào đẳng thức trên ta được:

(5k)² + 4.(‒4) = 9

25k² ‒16 = 9

k² = 1

k = 1 hoặc k = ‒1.

Vậy k ∈ {‒1; 1}.

b) Nếu k ≠ 0, thì phương trình đã cho là phương trình bậc hai, có

∆’ = [‒3(k ‒ 1)]² ‒ k.9(k ‒ 3)

= (‒3k + 3)² ‒ 9k² + 27k

= 9k² ‒ 18k + 9 ‒ 9k² + 27k

= 9k + 9.

Để phương trình có hai nghiệm thì ∆ ≥ 0, tức là 9k + 9 ≥ 0 hay k ≥ ‒1.

Theo định lí Viète ta có:

$x_{1} + x_{2} = \frac{6 (k - 1)}{k}; x_{1} x_{2} = \frac{9 (k - 3)}{k} .$

Thay $x_{1} + x_{2} = \frac{6 (k - 1)}{k}$ và $x_{1} x_{2} = \frac{9 (k - 3)}{k}$ vào đẳng thức x₁+ x₂– x₁ x₂= 0 ta có:

$\frac{6 (k - 1)}{k} - \frac{9 (k - 3)}{k} = 0$

$\frac{6 (k - 1) - 9 (k - 3)}{k} = 0$

6k ‒ 6 ‒ 9k + 27 = 0

‒3k = ‒21

k = 7 (thỏa mãn điều kiện k ≥ ‒1 và k ≠ 0).

Vậy k = 7.

Lời giải SBT Toán 9 Bài 3: Định lí Viète hay khác: