Cho phương trình x^2 + 2(2m + 1)x – 4m^2 – 1 = 0 trang 71 SBT Toán 9 Tập 2

Giải SBT Toán 9 Bài 3: Định lí Viète - Cánh diều

Bài 27 trang 71 SBT Toán 9 Tập 2: Cho phương trình x²+ 2(2m + 1)x – 4m²– 1=0.

a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn có hai nghiệm x₁, x₂ với mọi giá trị của m.

b) Tìm biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm x₁, x₂ không phụ thuộc vào giá trị của m.

Lời giải:

a) Phương trình đã cho có:

∆ = 4(2m + 1)² ‒ 4.(‒4m² ‒ 1) = 4(2m + 1)² + 16m² + 4.

Với mọi m, ta có: (2m + 1)² ≥ 0 và 16m² ≥ 0

Suy ra 4(2m + 1)² + 16m² + 4 >0 với mọi m hay ∆ >0 với mọi m.

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi giá trị của m.

b) Theo định lí Viète ta có:

x₁ + x₂ = ‒2(2m + 1) = ‒4m ‒2 và x₁x₂ = ‒4m² ‒1.

⦁ Từ x₁ + x₂ = ‒4m ‒2 ta có ‒4m = x₁ + x₂ + 2 nên $m = \frac{x_{1} + x_{2} + 2}{- 4} .$

Suy ra $m^{2} = {(\frac{x_{1} + x_{2} + 2}{- 4})}^{2}$

⦁ Từ x₁x₂ = ‒4m² ‒1, suy ra ‒4m² = x₁x₂ + 1, suy ra $m^{2} = \frac{x_{1} x_{2} + 1}{- 4} .$

Khi đó, ta có: ${(\frac{x_{1} + x_{2} + 2}{- 4})}^{2} = \frac{x_{1} x_{2} + 1}{- 4}$

$\frac{{(x_{1} + x_{2} + 2)}^{2}}{{(- 4)}^{2}} = \frac{x_{1} x_{2} + 1}{- 4}$

$\frac{{(x_{1} + x_{2} + 2)}^{2}}{- 4} = x_{1} x_{2} + 1$

(x₁ + x₂ + 2)² + 4x₁x₂ + 4 = 0.

Vậy biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm x₁, x₂ không phụ thuộc vào giá trị của m là:

(x₁ + x₂ + 2)² + 4x₁x₂ + 4 = 0.

Lời giải SBT Toán 9 Bài 3: Định lí Viète hay khác: