Cho phương trình x^2 + (2m – 1)x – m = 0 trang 71 SBT Toán 9 Tập 2

Giải SBT Toán 9 Bài 3: Định lí Viète - Cánh diều

Bài 30 trang 71 SBT Toán 9 Tập 2: Cho phương trình x²+ (2m – 1)x – m = 0.

a) Tìm các giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình. Tìm các giá trị m để biểu thức $A = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

a) Phương trình đã cho có:

∆ = (2m – 1)²– 4.( –m) = 4m² – 4m + 1 + 4m = 4m²+ 1 > 0 với mọi giá trị của m.

Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b) Theo định lí Viète, ta có: x₁+ x₂= –(2m – 1) và x₁x₂= –m.

Ta có: $A = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 3 x_{1} x_{2}$

$= {[- (2 m - 1)]}^{2} - 3 (- m) = 4 m^{2} - 4 m + 1 + 3 m$

$= 4 m^{2} - m + 1 = (4 m^{2} - 2 \cdot 2 m \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{16}) + 1 - \frac{1}{16}$

$= {(2 m - \frac{1}{4})}^{2} + \frac{15}{16} .$

Với mọi m, ta có: ${(2 m - \frac{1}{4})}^{2} \geq 0$ nên ${(2 m - \frac{1}{4})}^{2} + \frac{15}{16} \geq \frac{15}{16}$ hay $A \geq \frac{15}{16} .$

Vậy biểu thức $A = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{15}{16}$ khi $2 m - \frac{1}{4} = 0$ hay $m = \frac{1}{8} .$

Lời giải SBT Toán 9 Bài 3: Định lí Viète hay khác: