Cho phương trình x^2 + 2(k + 1)x + k^2 + 2k = 0 trang 71 SBT Toán 9 Tập 2
Giải SBT Toán 9 Bài 3: Định lí Viète - Cánh diều
Bài 28 trang 71 SBT Toán 9 Tập 2: Cho phương trình x2 + 2(k + 1)x + k2 + 2k = 0.
a) Tìm các giá trị k để phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2 và |x1|.|x2| = 1.
b*) Tìm các giá trị k (k < 0) để phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2 trái dấu và nghiệm dương nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm.
Lời giải:
a) Phương trình có: ∆’ =(k + 1)2 – (k2 + 2k) = k2 + 2k + 1 – k2 – 2k = 1 > 0.
Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k.
Theo định lí Viète, ta có: x1 + x2 = –2(k + 1) và x1x2 =k2 + 2k.
Theo bài, |x1|.|x2| = 1 ta có |x1x2| = 1.
Suy ra |k2 + 2k| = 1.
Do đó k2 + 2k = –1 hoặc k2 + 2k = 1.
⦁ Giải phương trình: k2 + 2k = –1
k2 + 2k + 1 = 0
(k + 1)2 = 0
k + 1 = 0
k = –1.
⦁ Giải phương trình: k2 + 2k = 1
k2 + 2k – 1 = 0
Phương trình trên có ∆’ = 12 – 1.(–1) = 2 > 0.
Do đó phương trình này có hai nghiệm phân biệt là:
hoặc
Dễ thấy, nếu thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn |x1|.|x2| = 1.
Vậy là các giá trị cần tìm.
b*) ⦁ Để phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu thì tích của hai nghiệm là số âm, do đó x1x2 < 0, tức là k2 + 2k < 0.
Giải bất phương trình:
k2 + 2k < 0.
k(k + 2) < 0
Suy ra k < 0 và k + 2 > 0 (do đề bài đã cho điều kiện k < 0).
k < 0 và k > –2
–2 < k < 0.
Do đó điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu là –2 < k < 0. (*)
Giả sử x1 < 0 < x2.
⦁ Để phương trình đã cho có nghiệm dương nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm, tức là x2 < 0 < |x1|.
Mà x1 < 0 nên |x1| = –x1.
Khi đó, ta có x2 < –x1 hay x1 + x2 < 0.
Tức là, –2(k + 1) < 0
k + 1 > 0
k > –1. (**).
Kết hợp hai điều kiện (*) và (**), ta có –1 < k < 0.
Dễ thấy, với các giá trị k sao cho –1 < k < 0 thì phương trình đã cho luôn có hai nghiệm x1, x2 trái dấu và nghiệm dương nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm.
Vậy các giá trị k cần tìm là các giá trị k sao cho –1 < k < 0.
Lời giải SBT Toán 9 Bài 3: Định lí Viète hay khác: