Cho các số x, y, z khác 0 thỏa mãn x + y + z = 5 và xy + yz + xz = 8

Giải SBT Toán 9 Bài 3: Định lí Viète - Cánh diều

Bài 31* trang 71 SBT Toán 9 Tập 2: Cho các số x, y, z khác 0 thỏa mãn x + y + z = 5 và xy +yz + xz = 8.

Chứng tỏ rằng: $1 \leq x \leq \frac{7}{3}; 1 \leq y \leq \frac{7}{3}; 1 \leq z \leq \frac{7}{3} .$

Lời giải:

Đặt S = y + z và P = yz.

Theo bài, x + y + z = 5 nên ta có x + S = 5, suy ra y + z = S = 5–x.

Theo bài, xy + yz + xz = 8 nên xy + xz + P = 8

Suy ra yz = P = 8 – x(y + z) = 8 – x(5 – x).

Từ đó y, z là nghiệm của phương trình:

t²– (5 –x)t + 8 – x(5 – x) = 0 với S²– 4P ≥ 0. (*)

Xét điều kiện (*):

S²– 4P ≥ 0

(5 – x)²– 4[8 – x(5 – x)] ≥ 0

25 – 10x + x² – 32 + 4x(5 – x) ≥ 0

25 – 10x + x² – 32 + 20x – 4x² ≥ 0

–3x² + 10x – 7 ≥ 0

3x²–10x+7 ≤ 0.

Ta có: 3x² – 10x + 7 = (3x² – 3x) – (7x – 7)

= 3x(x – 1) – 7(x – 1) = (x – 1)(3x – 7)

$= 3 (x - 1) (x - \frac{7}{3}) .$

Với mọi x ta luôn có: $x - 1 > (x - 1) - \frac{4}{3}$ hay $x - 1 > x - \frac{7}{3} .$

Do 3x²– 10x + 7 ≤ 0 và $x - 1 > x - \frac{7}{3}$ nên suy ra:

$x - \frac{7}{3} \leq 0$ và x – 1 ≥ 0 hay $1 \leq x \leq \frac{7}{3} .$

Tương tự ta chứng minh được: $1 \leq y \leq \frac{7}{3}; 1 \leq z \leq \frac{7}{3} .$

Vậy $1 \leq x \leq \frac{7}{3}; 1 \leq y \leq \frac{7}{3}; 1 \leq z \leq \frac{7}{3} .$

Lời giải SBT Toán 9 Bài 3: Định lí Viète hay khác: