Cho phương trình 2x^2 + 2(m + 1)x – 3 = 0 trang 74 SBT Toán 9 Tập 2

Giải SBT Toán 9 Bài tập cuối chương 7 - Cánh diều

Bài 45 trang 74 SBT Toán 9 Tập 2: Cho phương trình 2x²+ 2(m + 1)x – 3 = 0.

a) Chứng minh phương trình đó luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

b) Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình đó. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 3 x_{1} x_{2} .$

Lời giải:

Xét phương trình: 2x²+ 2(m + 1)x – 3 = 0.

a) Phương trình đã cho có ∆’ = (m + 1)² ‒ 2.(‒3) = (m + 1)² + 6.

Với mọi m, ta có (m + 1)² ≥ 0 nên (m + 1)² + 6 ≥ 6 hay ∆’ > 0.

Vậy phương trình đó luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b) Theo định lí Viète, ta có:

$x_{1} + x_{2} = \frac{- 2 (m + 1)}{2} = - m - 1$ và $x_{1} x_{2} = \frac{- 3}{2} .$

Ta có: $A = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 3 x_{1} x_{2}$

= (x₁ + x₂)² + x₁x₂

Thay x₁ + x₂ = – m – 1 và $x_{1} x_{2} = \frac{- 3}{2}$ vào biểu thức trên ta có:

$A = {(- m - 1)}^{2} + \frac{- 3}{2} = {(m + 1)}^{2} - \frac{3}{2} .$

Với mọi m ta luôn có: (m + 1)² ≥ 0 nên ${(m + 1)}^{2} - \frac{3}{2} \geq - \frac{3}{2} .$

Khi đó, A có giá trị nhỏ nhất bằng $- \frac{3}{2}$ khi m + 1 = 0 hay m = –1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là $- \frac{3}{2}$ tại m = –1.

Lời giải SBT Toán 9 Bài tập cuối chương 7 hay khác: