Cho hai tiếp tuyến MA và MB của đường tròn (O). Gọi N là điểm sao cho MANB là một hình bình hành
Cho hai tiếp tuyến MA và MB của đường tròn (O). Gọi N là điểm sao cho MANB là một hình bình hành.
Giải sách bài tập Toán 9 Bài tập ôn tập cuối năm - Kết nối tri thức
Bài 11 trang 73 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho hai tiếp tuyến MA và MB của đường tròn (O). Gọi N là điểm sao cho MANB là một hình bình hành.
a) Giả sử N không nằm trên (O), NA và NB cắt (O) lần lượt tại D và C.
– Chứng minh rằng ABC là tam giác cân tại đỉnh A.
– Chứng minh rằng hai cung BC và AD có số đo bằng nhau.
b) Giả sử N nằm trên (O).
– Chứng minh rằng MAB là tam giác đều.
– Tính độ dài cung AB và diện tích của hình quạt tròn ứng với cung AB, biết rằng đường tròn (O) có bán kính bằng 6 cm.
Lời giải:
a) Ta có hình vẽ:
Gọi giao điểm của AO và BN là E.
MA là tiếp tuyến của O tại A nên MA ⊥ OA hay MA ⊥ AE.
Mà BC // MA (do MANB là hình bình hành) nên OE ⊥ BC.
Vì OB = OC nên tam giác OBC cân tại O.
OE là đường cao của tam giác OBC nên đồng thời là đường trung trực của BC.
Mà A nằm trên OE nên AB = AC hay tam giác ABC cân tại A (đpcm).
Tương tự ta thấy tam giác BAD cân tại B do BA = BD.
Hai góc ADB và ACB là hai góc nội tiếp đường tròn (O) cùng chắn cung nhỏ nên
Hai tam giác cân ABC và BAD có hai góc ở đáy bằng nhau nên hai góc ở đỉnh cũng bằng nhau, suy ra
Vì là góc nội tiếp và BOC là góc ở tâm cùng chắn cung của đường tròn (O) Nên
Tương tự ta được
Mà nên (đpcm).
b) Ta có hình vẽ:
MA và MB là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại M nên MA = MB.
Hình bình hành AMBN có hai cạnh kề nhau bằng nhau nên là hình thoi.
Suy ra AN = BN = MB = AM.
MA là tiếp tuyến của (O) tại A nên MA ⊥ OA.
Mà AM // BN nên OA ⊥ BN hay OE ⊥ BN.
Vì OB = BN nên tam giác OBN cân tại O.
Do đó đường cao OE của tam giác OBN đồng thời là đường trung trực của BN.
Mà A nằm trên OE nên AB = AN.
Mà AN = BN, nên AB = AN = BN = MB = AM.
Suy ra ABN và MAB là hai tam giác đều. (đpcm)
Tam giác ANB là tam giác đều nên
Vì là góc nội tiếp chắn cung nhỏ của đường tròn (O) nên ta có:
Độ dài cung là: (cm)
Diện tích hình quạt tròn ứng với cung là:
(cm2)
Vậy độ dài cung AB là 4π cm và diện tích hình quạt tròn ứng với cung là 12π cm2.
Lời giải SBT Toán 9 Bài tập ôn tập cuối năm hay khác:
Bài 2 trang 72 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho hệ phương trình: .Giải hệ phương trình với m = 1 ...
Bài 3 trang 72 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giải bất phương trình –10x + 7 > 3x – 4. ...
Bài 4 trang 72 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho biểu thức: (x ≥ 0, x ≠ 4). ...