Bài 7 trang 79 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

Giải Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 4

Bài 7 trang 79 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

cotA + cotB + cotC = $\frac{R (a^{2} + b^{2} + c^{2})}{a b c}$

Lời giải:

Đặt BC = a, AC = b, AB = c.

Ta có: cotA = $\frac{\cos A}{\sin A}$ mà theo hệ quả định lí côsin ta có cosA = $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2. b . c}$ ;

Vì $S = \frac{1}{2} b c \sin A$ ⇒ sinA = $\frac{2 S}{b c}$

Do đó cotA = $\frac{\cos A}{\sin A} = \frac{\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}}{\frac{2 S}{b c}} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{4 S}$

Tương tự, ta có : cotB = $\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{4 S}$ ; cotC = $\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4 S}$ ;

Suy ra: cotA + cotB + cotC = $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{4 S} + \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{4 S} + \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4 S} = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{4 S}$

Mặt khác S = $\frac{a b c}{4 R}$ (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).

Suy ra: cotA + cotB + cotC = $\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{4 S} = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{4. \frac{a b c}{4 R}} = \frac{R (a^{2} + b^{2} + c^{2})}{a b c}$

Vậy cotA + cotB + cotC = $\frac{R (a^{2} + b^{2} + c^{2})}{a b c}$

Lời giải bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯