Elip có tỉ số giữa độ dài trục nhỏ và tiêu cự bằng căn bậc hai của 2 , tổng bình phương độ dài trục lớn và tiêu cự bằng 64. Phương trình chính tắc của elip là:

Câu hỏi:

A. $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{8}=1$

B. $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{12}=1$

C. $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$

D. $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$

Trả lời:

Đáp án đúng là: A

Ta có tỉ số giữa độ dài trục nhỏ và tiêu cự bằng $\sqrt{2}$ .

Suy ra $\frac{2b}{2c}=\sqrt{2}$

$$\begin{gathered} \iff b=c\sqrt{2} \\ \iff \sqrt{a^2-c^2}=c\sqrt{2} \end{gathered}$$

⇔ a² – c² = 2c²

⇔ a² = 3c².

Lại có tổng bình phương độ dài trục lớn và tiêu cự bằng 64.

Ta suy ra (2a)² + (2c)² = 64.

⇔ 4a² + 4c² = 64.

⇔ a² + c² = 16.

⇔ 3c² + c² = 16.

⇔ 4c² = 16.

⇔ c² = 4.

⇔ c = 2 (vì c > 0).

Với c = 2, ta có:

• a² = 3c² = 3.2² = 12.

• b = $c\sqrt{2}=2\sqrt{2}$

Suy ra b² = 8.

Vậy phương trình elip cần tìm là: $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{8}=1$

Do đó ta chọn phương án A.