Giải Toán 10 trang 45 Tập 2 Chân trời sáng tạo

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm giải Toán 10 trang 45 Tập 2 trong Bài 1: Toạ độ của vectơ Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 45.

Giải Toán 10 trang 45 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Bài 2 trang 45 Toán lớp 10 Tập 2: Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{a}$ = (4; -6) và $\overrightarrow{b}$ = (-2; 3) là hai vectơ ngược hướng.

b) $\overrightarrow{a}$ = (-2; 3) và $\overrightarrow{b}$ = (-8; 12) là hai vectơ cùng hướng.

c) $\overrightarrow{a}$ = (0; 4) và $\overrightarrow{b}$ = (0; -4) là hai vectơ đối nhau.

Lời giải:

a) Ta có: $\frac{4}{-2}=\frac{-6}{3}=-2$. Do đó $\overrightarrow{a}$ = -2$\overrightarrow{b}$

Vì – 2 < 0 nên $\overrightarrow{a}$ ngược hướng với $\overrightarrow{b}$.

b) Ta có: $\frac{-2}{-8}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$. Do đó $\overrightarrow{a}$ = $\frac{1}{4}.\overrightarrow{b}$

Vì $\frac{1}{4}>0$ nên $\overrightarrow{a}$ cùng hướng với $\overrightarrow{b}$.

c) Ta có $\overrightarrow{a}$ = -$\overrightarrow{b}$. Do đó $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ đối nhau.

Bài 3 trang 45 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm tọa độ của các vectơ sau:

a) $\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}+7\overrightarrow{j}$;

b) $\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}$;

c) $\overrightarrow{c}=4\overrightarrow{i}$;

d) $\overrightarrow{d}=-9\overrightarrow{j}$.

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}+7\overrightarrow{j}$ nên tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}=$ (2; 7).

Vậy $\overrightarrow{a}=$ (2; 7).

b) Ta có $\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}$ nên tọa độ của $\overrightarrow{b}=$(-1; 3).

Vậy $\overrightarrow{b}=$(-1; 3).

c) Ta có $\overrightarrow{c}=4\overrightarrow{i}=4\overrightarrow{i}+0\overrightarrow{j}$ nên tọa độ của $\overrightarrow{c}=$(4; 0).

Vậy $\overrightarrow{c}=$(4; 0).

d) Ta có $\overrightarrow{d}=-9\overrightarrow{j}=0\overrightarrow{i}-9\overrightarrow{j}$ nên tọa độ của $\overrightarrow{d}=$(0; -9).

Vậy $\overrightarrow{d}=$(0; -9).

Bài 4 trang 45 Toán lớp 10 Tập 2: Cho bốn điểm A(3; 5), B(4;0), C(0; -3), D(2; 2). Trong các điểm đã cho, hãy tìm điểm:

a) Thuộc trục hoành;

b) Thuộc trục tung;

c) Thuộc đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.

Lời giải:

a) Các điểm thuộc trục hoành sẽ có tung độ bằng 0. Do đó chỉ có điểm B thỏa mãn. Vậy điểm B thuộc trục hoành.

b) Các điểm thuộc trục tung sẽ có hoành độ bằng 0. Do đó chỉ có điểm C thỏa mãn. Vậy điểm C thuộc trục tung.

c) Các điểm thuộc phân giác của góc phần tư thứ nhất sẽ có khoảng cách đến hai trục tọa độ bằng nhau hay chính là điểm đó có hoành độ bằng tung độ. Do đó có điểm D thỏa mãn. Vậy D là điểm thuộc đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.

Bài 5 trang 45 Toán lớp 10 Tập 2: Cho điểm M(x₀; y₀). Tìm tọa độ:

a) Điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Ox;

b) Điểm M’ đối xứng với điểm M qua trục Ox;

c) Điểm K là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Oy;

d) Điểm M’’ là điểm đối xứng với điểm M qua trục Oy;

e) Điểm C đối xứng với M qua gốc tọa độ.

Lời giải:

a) Vì điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Ox nên tọa độ của điểm H là (x₀; 0).

b) Vì điểm M’ đối xứng với điểm M qua trục Ox nên hoành độ điểm M và M’ bằng nhau, còn tung độ điểm M bằng và tung độ điểm M’ đối nhau.

Do đó tọa độ điểm M’ là (x₀; -y₀).

Vậy M’(x₀; -y₀).

c) Vì điểm K là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Oy nên hoành độ của điểm K bằng 0 và tung điểm K là tung độ của điểm M. Do đó tọa độ điểm K là (0; y₀).

Vậy tọa độ điểm K(0; y₀).

d) Vì điểm M’’ là điểm đối xứng với điểm M qua trục Oy nên tung độ của điểm M’’ bằng tung độ của điểm M, còn hoành độ điểm M’’ và hoành độ điểm M là hai số đối của nhau. Do đó tọa độ điểm M’’ là (-x₀; y₀).

Vậy M’’(x₀; - y₀).

e) Vì điểm C đối xứng với M qua gốc tọa độ nên hoành độ và tung độ của điểm C là số đối của lần lượt hoành độ và tung độ của điểm M. Do đó tọa độ điểm C là (-x₀; -y₀).

Vậy C(-x₀; -y₀).

Bài 6 trang 45 Toán lớp 10 Tập 2: Cho ba điểm A(2; 2), B(3; 5), C(5; 5).

a) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là một hình bình hành.

b) Tìm tọa độ giao điểm hai đường chéo của một hình bình hành ABCD.

c) Giải tam giác ABC.

Lời giải:

a) Gọi D(x_D; y_D)

Ta có: $\overrightarrow{BA}=\left(2-3;2-5\right)$ = (-1; -3); $\overrightarrow{CD}=\left(x_D-5;y_D-5\right)$

Để ABCD là một hình bình hành thì $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$

Vậy D(4; 2).

b) Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Suy ra O là trung điểm của AC.

Khi đó tọa độ điểm O là:

⇒ O$\left(\frac{7}{2};\frac{7}{2}\right)$.

Vậy O$\left(\frac{7}{2};\frac{7}{2}\right)$.

c) Ta có: $\overrightarrow{BA}$(-1; -3) ⇒ BA = $\sqrt{{\left(-1\right)}^2+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{10}$.

$\overrightarrow{CA}$(-3; -3) ⇒ CA = $\sqrt{{\left(-3\right)}^2+{\left(-3\right)}^2}=3\sqrt{2}$.

$\overrightarrow{BC}$(2; 0) ⇒ BC = $\sqrt{2^2+0^2}=2$.

Áp dụng định lí cosin, ta có:

cosA = $\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}=\frac{{\left(\sqrt{10}\right)}^2+{\left(3\sqrt{2}\right)}^2-2^2}{2.\sqrt{10}.3\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

⇒ $\hat{A}$≈ 26,56°

⇒ sinA = $\frac{\sqrt{5}}{5}$

Áp dụng định lí sin, ta có: $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}$

$\Rightarrow \frac{2}{\frac{\sqrt{5}}{5}}=\frac{\sqrt{10}}{\sin C}$

$\Rightarrow \sin C=\left(\frac{\sqrt{5}}{5}.\sqrt{10}\right):2=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ⇒ $\hat{C}$ = 45°.

Ta lại có: $\hat{B}=180°-\left(\hat{A}+\hat{C}\right)\approx 180°-\left(26,56°+45°\right)\approx 108,44°$

Vậy BA = $\sqrt{10}$, CA $=3\sqrt{2}$, BC = 2, $\hat{A}$≈ 26,56°, $\hat{B}\approx 108,44°$, $\hat{C}$ = 45°.

Bài 7 trang 45 Toán lớp 10 Tập 2: Cho tam giác ABC có các điểm M(2; 2), N(3; 4), P(5; 3) lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và CA.

a) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

b) Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác ABC và MNP trùng nhau.

c) Giải tam giác ABC.

Lời giải:

a) Gọi A(x_A; y_A), B(x_B; y_B), C(x_C; y_C).

Xét tam giác ABC, có:

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của AC

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC

⇒ MN//AC hay MN //CP và MN // PA và MN = AP = PC = $\frac{1}{2}$AC

Ta có: $\overrightarrow{MN}\left(1;2\right)$, $\overrightarrow{PC}$(x_C – 5; y_C – 3)

Mà $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{PC}$

Vì P là trung điểm của AC nên ta có tọa độ P thỏa mãn hệ phương trình:

Vì M là trung điểm của AB nên ta có tọa độ M thỏa mãn hệ phương trình:

Vậy tọa độ các đỉnh của tam giác ABC lần lượt là: A(4; 1), B(0; 3) và C(6; 5).

b) Xét tam giác ABC, có A(4; 1), B(0; 3) và C(6; 5):

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là:

Xét tam giác MNP, có M(2; 2), N(3; 4), P(5; 3).

Gọi G là trọng tâm của tam giác MNP. Khi đó tọa độ trọng tâm của tam giác MNP là:

Từ (1) và (2) suy ra G và G’ trùng nhau.

Vậy tam giác ABC và tam giác MNP trùng trọng tâm.

c) Ta có: $\overrightarrow{AB}\left(-4;2\right)$ ⇒ AB = $\sqrt{{\left(-4\right)}^2+2^2}$ = $2\sqrt{5}$;

$\overrightarrow{AC}\left(2;4\right)$ ⇒ AC = $\sqrt{2^2+4^2}$ = $2\sqrt{5}$;

$\overrightarrow{BC}\left(6;2\right)$ ⇒ BC = $\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$.

Xét tam giác ABC:

Áp dụng hệ quả của định lí cosin, ta có:

cosA = $\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}=\frac{{\left(2\sqrt{5}\right)}^2+{\left(2\sqrt{5}\right)}^2-{\left(2\sqrt{10}\right)}^2}{2.\left(2\sqrt{5}\right).\left(2\sqrt{5}\right)}=0$

⇒ $\hat{A}=90°$.

Do AB = AC = $2\sqrt{5}$ nên ∆ABC vuông cân tại A

⇒ $\hat{B}=\hat{C}=45°$.

Vậy tam giác ABC, có AB = AC = $2\sqrt{5}$, BC = $2\sqrt{10}$, $\hat{A}=90°$ và $\hat{B}=\hat{C}=45°$.

Bài 8 trang 45 Toán lớp 10 Tập 2: Cho hai điểm A(1; 3), B(4; 2).

a) Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB.

b) Tính chu vi tam giác OAB.

c) Chứng minh rằng OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB.

Lời giải:

a) Vì D thuộc trục Ox nên tung độ của D bằng 0. Gọi D(d; 0).

Ta có: $\overrightarrow{AD}$ = (d – 1; -3) ⇒ AD = $\sqrt{{\left(d-1\right)}^2+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{d^2-2d+10}$;

$\overrightarrow{BD}$ = (d – 4; -2) ⇒ BD = $\sqrt{{\left(d-4\right)}^2+{\left(-2\right)}^2}=\sqrt{d^2-8d+20}$;

Vì AD = BD nên $\sqrt{d^2-2d+10}=\sqrt{d^2-8d+20}$

⇒ d² – 2d + 10 = d² – 8d + 20

⇒ 6d = 10

⇒ d = $\frac{5}{3}$

Vậy $D\left(\frac{5}{3};0\right)$.

b) Ta có: $\overrightarrow{OA}$ = (1; 3) ⇒ OA = $\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$;

$\overrightarrow{OB}$ = (4; 2) ⇒ OB = $\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$;

$\overrightarrow{AB}$ = (3; -1) ⇒ AB = $\sqrt{{\left(-1\right)}^2+3^2}=\sqrt{10}$.

Chu vi tam giác OAB là:

OA + OB + AB = $\sqrt{10}$ + $2\sqrt{5}$+ $\sqrt{10}$ = 2$\sqrt{10}$+ $2\sqrt{5}$

Vậy chu vi tam giác OAB là 2$\sqrt{10}$+ $2\sqrt{5}$.

c) Ta có $\overrightarrow{OA}$.$\overrightarrow{AB}$ = 1.3 + 3.(-1) = 3 – 3 = 0.

Do đó OA ⊥ AB

Suy ra tam giác OAB vuông tại A.

Diện tích tam giác OAB là:

$\frac{1}{2}$.OA.AB = $\frac{1}{2}.\sqrt{10}.\sqrt{10}=5$.

Vậy diện tích tam giác OAB là 5.

Bài 9 trang 45 Toán lớp 10 Tập 2: Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ trong các trường hợp sau:

a) $\overrightarrow{a}$= (2; -3), $\overrightarrow{b}$ = (6; 4);

b) $\overrightarrow{a}$= (3; 2), $\overrightarrow{b}$ = (5; -1);

c) $\overrightarrow{a}$= (-2; -$2\sqrt{3}$), $\overrightarrow{b}$ = (3; $\sqrt{3}$).

Lời giải:

a) Áp dụng công thức tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$, ta có:

cos($\overrightarrow{a}$; $\overrightarrow{b}$) = $\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left(\overrightarrow{a}\right).\left(\overrightarrow{b}\right)}=\frac{2.6+\left(-3\right).4}{\sqrt{2^2+{\left(-3\right)}^2}.\sqrt{6^2+4^2}}=0$

⇒ ($\overrightarrow{a}$; $\overrightarrow{b}$) = 90°

Vì vậy góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ bằng 90°.

b) Áp dụng công thức tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$, ta có:

cos($\overrightarrow{a}$; $\overrightarrow{b}$) = $\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left(\overrightarrow{a}\right).\left(\overrightarrow{b}\right)}=\frac{3.5+\left(-1\right).2}{\sqrt{3^2+2^2}.\sqrt{5^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{13}{\sqrt{13}.\sqrt{26}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

⇒ ($\overrightarrow{a}$; $\overrightarrow{b}$) = 45°

Vì vậy góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ bằng 45°.

c) Áp dụng công thức tính góc giữa $\overrightarrow{a}$= (-2; -$2\sqrt{3}$), $\overrightarrow{b}$ = (3; $\sqrt{3}$), ta được:

cos($\overrightarrow{a}$; $\overrightarrow{b}$) = $\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left(\overrightarrow{a}\right).\left(\overrightarrow{b}\right)}=\frac{\left(-2\right).3+\left(-2\sqrt{3}\right).\sqrt{3}}{\sqrt{{\left(-2\right)}^2+{\left(-2\sqrt{3}\right)}^2}.\sqrt{3^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}}=\frac{-12}{8.\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

⇒ ($\overrightarrow{a}$; $\overrightarrow{b}$) = 150°

Vì vậy góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ bằng 150°.

Bài 10 trang 45 Toán lớp 10 Tập 2: Cho bốn điểm A(7; -3), B(8; 4), C(1; 5), D(0; -2). Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông.

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{AB}$ = (1; 7) ⇒ AB = $\sqrt{1^2+7^2}=\sqrt{50}$;

$\overrightarrow{AD}$ = (-7; 1) ⇒ AD = $\sqrt{{\left(-7\right)}^2+1^2}=\sqrt{50}$;

$\overrightarrow{DC}$ = (1; 7) ⇒ DC = $\sqrt{1^2+7^2}=\sqrt{50}$.

$\overrightarrow{BC}$ = (-7; 1) ⇒ BC = $\sqrt{{\left(-7\right)}^2+1^2}=\sqrt{50}$.

Khi đó AB = AD = DC = BC nên ABCD là hình thoi.

Ta lại có: $\overrightarrow{AB}$. $\overrightarrow{AD}$ = 1.(-7) + 7.1 = 0

Suy ra AB ⊥ AD hay $\widehat{BAD}=90°$.

Vậy ABCD là hình vuông.

Bài 11 trang 45 Toán lớp 10 Tập 2: Một máy bay đang hạ cánh với vận tốc $\overrightarrow{v}$ = (-210; -42). Cho biết vận tốc của gió là $\overrightarrow{\text{w}}$ = (-12; -4) và một đơn vị trên hệ trục tọa độ tương ứng với 1km. Tìm độ dài vectơ tổng hai vận tốc $\overrightarrow{v}$ và $\overrightarrow{\text{w}}$.

Lời giải:

Vectơ tổng hai vận tốc $\overrightarrow{v}$ và $\overrightarrow{\text{w}}$ là:

$\overrightarrow{v}+\overrightarrow{\text{w}}$ = (-222; -46)

Khi đó độ dài của hai vectơ là (km).

Vậy độ dài tổng hai vẫn tốc $\overrightarrow{v}$ và $\overrightarrow{\text{w}}$ là $10\sqrt{514}$ (km).

Lời giải bài tập Toán lớp 10 Bài 1: Toạ độ của vectơ Chân trời sáng tạo hay khác:

• Giải Toán 10 trang 38 Tập 2

• Giải Toán 10 trang 39 Tập 2

• Giải Toán 10 trang 40 Tập 2

• Giải Toán 10 trang 41 Tập 2

• Giải Toán 10 trang 42 Tập 2

• Giải Toán 10 trang 43 Tập 2

• Giải Toán 10 trang 44 Tập 2