Cho tam giác ABC với A(-1;2), B(8;-1), C(8;8). Gọi H là trực tâm tam giác ABC.

❮ Bài trước Bài sau ❯

Câu hỏi:

Cho tam giác ABC với A(-1;2), B(8;-1), C(8;8). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.

a) Chứng minh rằng $\vec{A H} . \vec{B C} = \vec{0}$ và $\vec{B H} . \vec{C A} = \vec{0} .$

b) Tìm tọa độ của H.

c) Giải tam giác ABC.

Cho tam giác ABC với A(-1;2), B(8;-1), C(8;8). Gọi H là trực tâm tam giác ABC. (ảnh 1)

Trả lời:

a) Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên $A H ⊥ B C \Rightarrow \vec{A H} . \vec{B C} = 0$

và $B H ⊥ A C \Rightarrow \vec{B H} . \vec{A C} = 0$

$B H ⊥ C A \Rightarrow \vec{B H} ⊥ \vec{C A} \Rightarrow \vec{B H} . \vec{C A} = 0$

b) Gọi tọa độ điểm H(x;y), ta có:

$\vec{A H} (x + 1; y - 2), \vec{B H} (x - 8; y + 1), \vec{B C} (0; 9), \vec{A C} (9; 6)$

$S u y r a \overset{⇀}{A H} . \vec{B C} = (x + 1) .0 + (y - 2) .9 = 0 \Leftrightarrow 9 (y - 2)$

$V à \vec{B H} . \vec{A C} = (x - 8) .9 + (y + 1) .6 = 9 x + 6 y - 66$

Theo câu a ta có: Û 9(y – 2) = 0 Û y – 2 = 0 Û y = 2.

Và

\vec{B H} . \vec{A C} = 0

(do BH ⊥ AC) Û 9x + 6.2 – 66 = 0

⇔ 9x - 54=0

$\Leftrightarrow$ 9x= 54

⇔ x = 6

⇒ H(6; 2)

Vậy H(6;2).

c)Với A(‒1;2), B(8;‒1), C(8;8) ta có:

$\vec{A B} = (9; - 3) \Rightarrow A B = \sqrt{9^{2} + {(- 3)}^{2}} = 3 \sqrt{10} .$

$\vec{A C} (9; 6) \Rightarrow A C = \sqrt{9^{2} + 6^{2}} = 3 \sqrt{13} .$

$\vec{B C} (0; 9) \Rightarrow B C = \sqrt{0^{2} + 9^{2}} = 9.$

+) $\vec{A B} . \vec{A C} = 9.9 + (- 3) .6 = 63;$

$c o s \hat{B A C} = \frac{\vec{A B} . \vec{A C}}{A B . A C} = \frac{63}{3 \sqrt{10} .3 \sqrt{13}} = \frac{63}{9. \sqrt{130}} = \frac{7}{\sqrt{130}}$

Þ $\hat{B A C} \approx 52 ° 8^{'}$

+) $\vec{A B} = (9; - 3) \Rightarrow \vec{B A} = (- 9; 3) \Rightarrow \vec{B A} . \vec{B C} = (- 9) .0 + 3.9 = 27;$

Có: $c o s \hat{A B C} = \frac{\vec{B A} . \vec{B C}}{B A . B C} = \frac{27}{3 \sqrt{10} .9} = \frac{1}{\sqrt{10}}$

$\Rightarrow \hat{A B C} \approx 71 ° 34^{'}$

Xét tam giác ABC, theo định lí tổng ba góc trong một tam giác ta có:

$\hat{B A C} + \hat{A B C} + \hat{A C B} = 180 ° \Rightarrow \hat{A C B} = 180 ° - (\hat{B A C} + \hat{A B C}) \Rightarrow \hat{A C B} \approx 180 ° - (52 ° 8^{'} + 71 ° 34^{'}) \approx 56 ° 18^{'} V ậ y A B = 3 \sqrt{10}, A C = 3 \sqrt{13}, B C = 9, \hat{B A C} \approx 52 ° 8^{'}, \hat{A B C} \approx 71 ° 34^{'}, \hat{A C B} \approx 56 ° 18^{'} .$

Xem thêm lời giải bài tập Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết:

Câu 1:

Trong Hình 4.39, số đo góc BAC cũng được gọi là số đo góc giữa hai vecto $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ . Hãy tìm số đo các góc giữa $\vec{B C}$ và $\vec{B D}$ , $\vec{D A}$ và $\vec{D B}$ .

Trong Hình 4.39, số đo góc BAC cũng được gọi là số đo góc giữa hai vecto (ảnh 1)

Xem lời giải »

Câu 2:

Khi nào thì góc giữa hai vecto bằng 0⁰, bằng 180⁰.

Xem lời giải »

Câu 3:

Cho tam giác đều ABC. Tính $(\vec{A B}, \vec{B C}) .$

Xem lời giải »

Câu 4:

Khi nào tích vô hướng của hai vecto khác vectơ không $\vec{u}, \vec{v}$ là một số dương? Là một số âm?

Xem lời giải »

Câu 5:

Một lực $\vec{F}$ không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng đều từ A đến B. Lực $\vec{F}$ được phân tích thành hai lực thành phần $\vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}} (\vec{F} = \vec{F_{1}} + \vec{F_{2}})$

a) Dựa vào tính chất của tích vô hướng, hãy giải thích vì sao công sinh bởi lực $\overset{⇀}{F}$ (đã được đề cập ở trên) bằng tổng của các công sinh bởi các lực $\vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}} .$

b) Giả sử các lực thành phần $\vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}} .$ tương ứng cùng phương, vuông góc với phương chuyển động của vật. Hãy tìm mối quan hệ giữa các công sinh bởi lực $\overset{⇀}{F}$ và lực $\vec{F_{1}}$