HĐ4 trang 40 Toán 10 Tập 2 - Kết nối tri thức

Cho điểm M(x; y) và đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 có vectơ pháp tuyến . Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên ∆ (H.7.9).

Giải Toán lớp 10 Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

HĐ4 trang 40 Toán 10 Tập 2: Cho điểm M(x₀; y₀) và đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}\left(a;b\right)$. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên ∆ (H.7.9). 

a) Chứng minh rằng $\left|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}\right|=\sqrt{a^2+b^2}.HM$.

b) Giả sử H có tọa độ (x₁; y₁). Chứng minh rằng: $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}$= a(x₀ – x₁) + b(y₀ – y₁) = ax₀ + by₀ + c. 

c) Chứng minh rằng $HM=\frac{\left|a{x}_0+b{y}_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$. 

Lời giải:

a) Do H là hình chiếu của M lên ∆ nên MH ⊥ ∆.

Vectơ $\overrightarrow{n}$ là vectơ pháp tuyến của ∆ nên giá của vectơ $\overrightarrow{n}$ vuông góc với ∆. 

Khi đó đường thẳng MH song song hoặc trùng với giá của vectơ $\overrightarrow{n}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{HM}$ và $\overrightarrow{n}$cùng phương. 

Do đó hai vectơ $\overrightarrow{HM}$ và $\overrightarrow{n}$ cùng hướng hoặc ngược hướng.

+) Nếu hai vectơ $\overrightarrow{HM}$ và $\overrightarrow{n}$ cùng hướng thì $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}=\left|\overrightarrow{n}\right|.\left|\overrightarrow{HM}\right|=\sqrt{a^2+b^2}.HM$.

+) Nếu hai vectơ $\overrightarrow{HM}$ và $\overrightarrow{n}$ ngược hướng thì $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}=-\left|\overrightarrow{n}\right|.\left|\overrightarrow{HM}\right|=-\sqrt{a^2+b^2}.HM$.

Vậy $\left|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}\right|=\sqrt{a^2+b^2}.HM$. 

b) Vì H thuộc ∆ nên tọa độ của H thỏa mãn phương trình ∆, thay tọa độ của H vào phương trình ∆ ta được: ax₁ + by₁ + c = 0 ⇔ c = – ax₁ – by₁           (1). 

Ta lại có: $\overrightarrow{HM}=\left(x_0-x_1;y_0-y_1\right)$.

Suy ra: $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}=a\left(x_0-x_1\right)+b\left(y_0-y_1\right)$ = ax₀ + by₀ – ax₁ – by₁             (2). 

Từ (1) và (2) suy ra : $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}=a\left(x_0-x_1\right)+b\left(y_0-y_1\right)$ = ax₀ + by₀ + c. 

c) Theo câu a) ta có: $\left|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}\right|=\sqrt{a^2+b^2}.HM$. 

Theo câu b) ta có: $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}$ = ax₀ + by₀ + c. 

Suy ra: |ax₀ + by₀ + c| = $\sqrt{a^2+b^2}.HM$.

Vậy $HM=\frac{\left|a{x}_0+b{y}_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách hay, chi tiết khác:

• Mở đầu trang 36 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ, mỗi đường thẳng đều có đối tượng đại số tương ứng, gọi là phương trình của nó ....

• HĐ1 trang 36 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng ∆₁: x – 2y + 3 = 0, ∆₂: 3x – y – 1 = 0 ....

• Luyện tập 1 trang 37 Toán 10 Tập 2: Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau ....

• HĐ2 trang 37 Toán 10 Tập 2: Hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ cắt nhau tạo thành bốn góc (H.7.6). Các số đo của bốn góc đó có mối quan hệ gì với nhau? ....

• HĐ3 trang 38 Toán 10 Tập 2: Cho hai đường thẳng cắt nhau ∆₁, ∆₂ tương ứng có các vectơ pháp tuyến ....

• Luyện tập 2 trang 38 Toán 10 Tập 2: Tính góc giữa hai đường thẳng ∆₁: x + 3y + 2 = 0 và ∆₂: y = 3x + 1 ....

• Luyện tập 3 trang 39 Toán 10 Tập 2: Tính góc giữa hai đường thẳng ${\Delta }_1:\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1-2t\end{array}\right.$và ${\Delta }_2:\left\{\begin{array}{l}x=1+t^{\text{'}}\\ y=5+3t^{\text{'}}\end{array}\right.$ ....

• Luyện tập 4 trang 39 Toán 10 Tập 2: Cho đường thẳng ∆: y = ax + b với a ≠ 0 ....

• Trải nghiệm trang 40 Toán 10 Tập 2: Đo trực tiếp khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ (H.7.10) và giải thích vì sao kết quả đo đạc đó phù hợp với kết quả ....

• Luyện tập 5 trang 40 Toán 10 Tập 2: Tính khoảng cách từ điểm M(1; 2) đến đường thẳng $\Delta :\left\{\begin{array}{l}x=5+3t\\ y=-5-4t\end{array}\right.$ ....

• Vận dụng trang 41 Toán 10 Tập 2: Nhân dịp nghỉ hè, Nam về quê ở với ông bà nội. Nhà ông bà nội có một ao cá có dạng hình chữ nhật ABCD với chiều dài AD = 15 m ....

• Bài 7.7 trang 41 Toán 10 Tập 2: Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau: ∆₁:$3\sqrt{2}x+\sqrt{2}y-\sqrt{3}=0$....

• Bài 7.8 trang 41 Toán 10 Tập 2: Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau: $∆1: \sqrt{3x} + y – 4 = 0$....

• Bài 7.9 trang 41 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0; – 2) và đường thẳng ∆: x + y – 4 = 0 ....

• Bài 7.10 trang 41 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có A(1; 0), B(3; 2) và C(– 2; – 1) ....

• Bài 7.11 trang 41 Toán 10 Tập 2: Chứng minh rằng hai đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) và d': y = a'x + b' (a' ≠ 0) vuông góc với nhau khi và chỉ khi aa' = – 1 ....

• Bài 7.12 trang 41 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu ....