Vận dụng 1 trang 45 Toán 10 Tập 2 - Kết nối tri thức

Bên trong một hồ bơi, người ta dự định thiết kế hai bể sục nửa hình tròn bằng nhau và một bể sục hình tròn (H.7.15a) để người bơi có thể ngồi tựa lưng vào thành các bể sục thư giãn. Hãy tìm bán kính của các bể sục để tổng chu vi của ba bể là 32 m mà tổng diện tích (chiếm hồ bơi) là nhỏ nhất. Trong tính toán, lấy π = 3,14, độ dài tính theo mét và làm tròn tới chữ số thập phân thứ hai.

Giải Toán lớp 10 Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Vận dụng 1 trang 45 Toán 10 Tập 2: Bên trong một hồ bơi, người ta dự định thiết kế hai bể sục nửa hình tròn bằng nhau và một bể sục hình tròn (H.7.15a) để người bơi có thể ngồi tựa lưng vào thành các bể sục thư giãn. Hãy tìm bán kính của các bể sục để tổng chu vi của ba bể là 32 m mà tổng diện tích (chiếm hồ bơi) là nhỏ nhất. Trong tính toán, lấy π = 3,14, độ dài tính theo mét và làm tròn tới chữ số thập phân thứ hai. 

Lời giải:

Gọi bán kính của bể hình tròn và bể nửa hình tròn tương ứng là x, y (m) (x, y > 0). 

Chu vi của bể hình tròn là: 2πx = 2 . 3,14 . x = 6,28x  (m).

Vì hai bể còn lại là hai bể có dạng nửa hình tròn bằng nhau nên tổng chu vi của hai bể này bằng tổng chu vi của đường tròn bán kính y (m) với 2 lần độ dài đường kính của đường tròn đó, do đó chu vi của hai bể nửa hình tròn là:

2πy + 2 . 2y = 2 . 3,14 . y + 4y = 10,28y (m).

Tổng chu vi của ba bể là 32 m nên ta có: 6,28x + 10,28y = 32 hay 1,57x + 2,57y – 8 = 0.

Diện tích của bể hình tròn là: πx² = 3,14x² (m²). 

Diện tích của hai bể nửa hình tròn là: πy² = 3,14y² (m²). 

Gọi tổng diện tích của ba bể sục là S (m²). Khi đó ta có: 

3,14x² + 3,14y² = S hay x²+ y² = $\frac{S}{\mathrm{3,14}}$. 

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét đường tròn (C): x²+ y² =$\frac{S}{\mathrm{3,14}}$ có tâm O(0; 0), bán kính R =$\sqrt{\frac{S}{\mathrm{3,14}}}$ và đường thẳng ∆: 1,57x + 2,57y – 8 = 0. Khi đó bài toán được chuyển thành: Tìm R nhỏ nhất để (C) và ∆ ít nhất một điểm chung, với hoành độ và tung độ đều là các số dương. 

Để (C) và ∆ có ít nhất một điểm chung thì khoảng cách từ tâm O của (C) tới ∆ phải nhỏ hơn hoặc bằng bán kính R nên ta có: d(O, ∆) ≤ R.

$\iff \frac{\left|\mathrm{1,57.0}+\mathrm{2,57.0}-8\right|}{\sqrt{{\left(\mathrm{1,57}\right)}^2+{\left(\mathrm{2,57}\right)}^2}}\le \sqrt{\frac{S}{\mathrm{3,14}}}$

$\iff \mathrm{2,66}\le \sqrt{\frac{S}{\mathrm{3,14}}}\iff \frac{S}{\mathrm{3,14}}\ge \mathrm{7,0756}\iff S\ge \mathrm{22,22}$

Giá trị nhỏ nhất của S là 22,22 m², khi đó x² + y² = 7,0756         (*). 

Từ 1,57x + 2,57y – 8 = 0 ⇒ x = $\frac{8-\mathrm{2,57}y}{\mathrm{1,57}}$ thay vào (*) ta được: 

${\left(\frac{8-\mathrm{2,57}y}{\mathrm{1,57}}\right)}^2+y^2=\mathrm{7,0756}$

⇔ (8 – 2,57y)² + (1,57)²y² = 17,44

⇔ 9,0698y² – 41,12y + 46,56 = 0 

⇔ y ≈ 2,34 hoặc y ≈ 2,2. 

Với y ≈ 2,34 suy ra x =$\frac{8-\mathrm{2,57.2,34}}{\mathrm{1,57}}$ ≈ 1,27.

Với y ≈ 2,2 suy ra x =$\frac{8-\mathrm{2,57.2,2}}{\mathrm{1,57}}$ ≈ 1,45. 

Vậy bán kính bể sục hình tròn là 1,27 m thì bể sục nửa hình tròn là 2,34 m hoặc bán kính của bể sục hình tròn là 1,45 m thì bể sục nửa hình tròn là 2,2 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ hay, chi tiết khác:

• HĐ1 trang 43 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C), tâm I(a; b), bán kính R (H.7.13) ....

• Luyện tập 1 trang 44 Toán 10 Tập 2: Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C): (x + 2)² + (y – 4)² = 7 ....

• Luyện tập 2 trang 44 Toán 10 Tập 2: Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình của một đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn đó ....

• Luyện tập 3 trang 45 Toán 10 Tập 2: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm M(4; – 5), N(2; – 1), P(3; – 8) ....

• HĐ2 trang 46 Toán 10 Tập 2: Cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y – 2)2 = 25 và điểm M(4; – 2) ....

• Luyện tập 4 trang 46 Toán 10 Tập 2: Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C) tại điểm N(1; 0) ....

• Vận dụng 2 trang 46 Toán 10 Tập 2: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, một vật chuyển động nhanh trên đường tròn có phương trình x² + y² = 25 ....

• Bài 7.13 trang 47 Toán 10 Tập 2: Tìm tâm và bán kính của đường tròn (x + 3)² + (y – 3)² = 36 ....

• Bài 7.14 trang 47 Toán 10 Tập 2: Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình của một đường tròn và tìm tâm, bán kính của đường tròn tương ứng ....

• Bài 7.15 trang 47 Toán 10 Tập 2: Viết phương trình của đường tròn trong mỗi trường hợp sau: Có tâm I(– 2; 5) và bán kính R = 7 ....

• Bài 7.16 trang 47 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC, với A(6; – 2), B(4; 2), C(5; –5). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác đó ....

• Bài 7.17 trang 47 Toán 10 Tập 2: Cho đường tròn (C): x² + y² + 2x – 4y + 4 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm M(0; 2) ....

• Bài 7.18 trang 47 Toán 10 Tập 2: Chuyển động của một vật thể trong khoảng thời gian 180 phút được thể hiện trong mặt phẳng tọa độ ....