Hoạt động 2 trang 62 Toán 11 Tập 2 Cánh diều

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C), một điểm M cố định thuộc (C) có hoành độ x. Với mỗi điểm M thuộc (C) khác M, kí hiệu x là hoành độ của điểm M và k là hệ số góc của cát tuyến MM. Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn. Khi đó, ta coi đường thẳng MT đi qua M và có hệ số góc k là của cát tuyến MM khi điểm M di chuyển dọc theo (C) dần tới M.s

Giải Toán 11 Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm - Cánh diều

Hoạt động 2 trang 62 Toán 11 Tập 2: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C), một điểm M₀ cố định thuộc (C) có hoành độ x₀. Với mỗi điểm M thuộc (C) khác M₀, kí hiệu x_M là hoành độ của điểm M và k_M là hệ số góc của cát tuyến M₀M. Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn$k_0=\underset{x_M\to x_0}{\lim }{k}_M$. Khi đó, ta coi đường thẳng M₀T đi qua M₀ và có hệ số góc k₀ là vị trí giới hạn của cát tuyến M₀M khi điểm M di chuyển dọc theo (C) dần tới M₀.s

Đường thẳng M₀T được gọi là tiếp tuyến của (C) tại điểm M₀, còn M₀ được gọi là tiếp điểm (Hình 3).

a) Xác định hệ số góc k₀ của tiếp tuyến M₀T theo x₀.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M₀

Lời giải:

a) Từ M₀(x₀; y₀) và M(x_M; y_M) ta có $\overrightarrow{M_{0}M}=\left(x_M-x_0;y_M-y_0\right)$

Đường cát tuyến $\overrightarrow{M_{0}M}=\left(x_M-x_0;y_M-y_0\right)$ nhận  làm vectơ chỉ phương nên có

Hệ số góc là: $k_M=\frac{y_M-y_0}{x_M-x_0}=\frac{f\left(x_M\right)-f\left(x_0\right)}{x_M-x_0}$

Khi đó: $k_0=\underset{x_M\to x_0}{\lim }{k}_M=\underset{x_M\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x_M\right)-f\left(x_0\right)}{x_M-x_0}=f^{\text{'}}\left(x_0\right).$

Vậy k₀ = f’(x₀).

b) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M₀(x₀; y₀) có hệ số góc k₀ = f’(x₀) >là:

y = k₀(x – x₀) + y₀ hay y = f’(x₀)(x – x₀) + f(x₀).

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm hay, chi tiết khác:

• Câu hỏi khởi động trang 59 Toán 11 Tập 2: Tên lửa vũ trụ là phương tiện được chế tạo đặc biệt giúp con người thực hiện các sứ mệnh trong không gian như ....

• Hoạt động 1 trang 60 Toán 11 Tập 2: Tính vận tốc tức thời của viên bi tại thời điểm x₀ =1 (s) trong bài toán tìm vận tốc tức thời nêu ở trên ....

• Luyện tập 1 trang 61 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ tại x0 = 2 bằng định nghĩa ....

• Luyện tập 2 trang 62 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x³ tại điểm x bất kì bằng định nghĩa. ....

• Luyện tập 3 trang 63 Toán 11 Tập 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{1}{x}$ tại điểm N(1; 1) ....

• Bài 1 trang 63 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 3x⁰ – 1 tại điểm x₀ = 1 bằng định nghĩa ....

• Bài 2 trang 63 Toán 11 Tập 2: Chứng minh rằng hàm số f(x) = |x| không có đạo hàm tại điểm x₀ = 0 ....

• Bài 3 trang 63 Toán 11 Tập 2: Cho hàm y = –2x² + x có đồ thị (C) ....

• Bài 4 trang 63 Toán 11 Tập 2: Giả sử chi phí C (USD) để sản xuất Q máy vô tuyến là C(Q) = Q² + 80Q + 3 500 ....