X

Lý thuyết Toán 11 Cánh diều

Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều


Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

Lý thuyết Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

1. Góc lượng giác

1.1. Góc hình học và số đo của chúng

– Góc (còn được gọi là góc hình học) là hình gồm hai tia chung gốc. Mỗi góc có một số đo, đơn vị đo góc (hình học) là độ. Số đo của một góc (hình học) không vượt quá 180°.

Một đơn vị khác được sử dụng nhiều khi đo góc là radian (đọc là ra-đi-an), viết tắt là rad.

Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

Nhận xét:

Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

Chú ý: Người ta thường không viết chữ radian hay rad sau số đo của góc.

Chẳng hạn, π2 rad cũng được viết là π2.

Ví dụ 1. Hãy hoàn thành bảng chuyển đổi số đo độ và số đo radian của một góc sau:

Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

Hướng dẫn giải

Ta có Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

Thực hiện tương tự như trên, ta thu được bảng sau:

Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

1.2. Góc lượng giác và số đo của chúng

a) Khái niệm

Quy ước chọn chiều dương là chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ và chiều cùng chiều quay của kim đồng hồ gọi là chiều âm.

Góc lượng giác: Cho hai tia Ou, Ov. Nếu tia Om quay chỉ theo chiều dương (hay chỉ theo chiều âm) xuất phát từ tia Ou đến trùng với tia Ov thì ta nói: Tia Om quét một góc lượng giác với tia đầu Ou và tia cuối Ov, kí hiệu là (Ou, Ov).

Ví dụ 2.

+ Trong hình bên dưới, ta thấy tia Om quay theo chiều dương, xuất phát từ tia Ob đến trùng với tia Oa. Do đó góc lượng giác là (Ob, Oa), với tia đầu là Ob, tia cuối là Oa.

Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

+ Trong hình bên dưới, ta thấy tia Om quay theo chiều âm, xuất phát từ tia Oc đến trùng với tia Od. Do đó góc lượng giác là (Oc, Od), với tia đầu là Oc, tia cuối là Od.

Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

Nhận xét:

– Khi tia Om quay góc a° thì góc lượng giác mà tia đó quét nên có số đo a° (hay πa180 rad).

– Mỗi một góc lượng giác đều có một số đo, đơn vị đo góc lượng giác là độ hoặc radian.

– Nếu góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo bằng α thì ta kí hiệu là sđ(Ou, Ov) = α hoặc (Ou, Ov) = α.

Ví dụ 3.

+ Khi tia Om quay góc 420°, với tia đầu là Od, tia cuối là Og thì góc lượng giác (Od, Og) mà tia Om quét nên có số đo bằng 420°. Ta kí hiệu là sđ(Od, Og) = 420° hoặc (Od, Og) = 420°.

+ Khi tia Om quay góc 2π3, với tia đầu là Oh, tia cuối là Ok thì góc lượng giác (Oh, Ok) mà tia Om quét nên có số đo bằng 2π3. Ta kí hiệu là sđ(Oh, Ok) = 2π3 hoặc (Oh, Ok) = 2π3.

– Mỗi góc lượng giác gốc O được xác định bởi tia đầu Ou, tia cuối Ov và số đo của góc đó.

Ví dụ 3. Hãy biểu diễn trên mặt phẳng góc lượng giác trong mỗi trường hợp sau:

a) Góc lượng giác gốc O có tia đầu Oy, tia cuối Oz và có số đo là –450°.

b) Góc lượng giác gốc O có tia đầu Oh, tia cuối Ok và có số đo 9π4.

Hướng dẫn giải

a) Ta có –450° = (–360°) + (–90°).

Vì –450° < 0° nên góc lượng giác đã cho quay theo chiều âm.

Vậy góc lượng giác gốc O có tia đầu Oy, tia cuối Oz và có số đo là –450° được biểu diễn trên mặt phẳng góc lượng giác như sau:

Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

b) Ta có 9π4=8π4+π4=2π+π4.

9π4>0 nên góc lượng giác đã cho quay theo chiều dương.

Vậy góc lượng giác gốc O có tia đầu Oh, tia cuối Ok và có số đo 9π4 được biểu diễn trên mặt phẳng góc lượng giác như sau:

Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

b) Tính chất

Định lí: Nếu một góc lượng giác có số đo α° (hay α radian) thì mọi góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc lượng giác đó có số đo dạng: α° + k360° (hay α + k2π), với k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k.

Ví dụ 4.

+ Công thức biểu thị số đo của các góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc lượng giác có số đo bằng 145° là: 145° + k360°, k là số nguyên.

+ Công thức biểu thị số đo của các góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc lượng giác có số đo bằng π6 là: π6+k2π, k là số nguyên.

Định lí (hệ thức Chasles): Với ba tia tùy ý Ou, Ov, Ow, ta có:

(Ou, Ov) + (Ov, Ow) = (Ou, Ow) + k2π (k ∈ ℤ).

Ví dụ 5. Cho góc lượng giác (Ov, Ow) có số đo là π3, góc lượng giác (Ou, Ow) có số đo là 5π6. Tìm số đo của góc lượng giác (Ou, Ov).

Hướng dẫn giải

Áp dụng hệ thức Chasles, ta có: (Ou, Ov) = (Ou, Ow) – (Ov, Ow) + k2π (k ∈ ℤ).

=5π6π3+k2π (k ∈ ℤ).

=7π6+k2π (k ∈ ℤ).

Vậy Ou,  Ov=7π6+k2π (k ∈ ℤ).

2. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

2.1. Đường tròn lượng giác

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta quy ước: Chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ là chiều dương và chiều quay của kim đồng hồ là chiều âm. Như vậy, mặt phẳng tọa độ Oxy đã được định hướng.

Đường tròn lượng giác: Trong mặt phẳng tọa độ đã được định hướng Oxy, lấy điểm A(1; 0). Đường tròn tâm O bán kính OA = 1 được gọi là đường tròn lượng giác (hay đường tròn đơn vị) gốc A.

Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

Chú ý: Các điểm B(0; 1), A’(–1; 0), B’(0; –1) nằm trên đường tròn lượng giác.

Ví dụ 6. Xác định điểm M, N trên đường tròn lượng giác thỏa mãn các trường hợp sau:

a) (OA, OM) = –240°.

Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

Hướng dẫn giải

a) Vì –240° < 0° nên góc lượng giác (OA, OM) quay theo chiều âm.

Ta có –240° = (–180°) + (–60°).

Do đó góc –240° quay theo chiều âm nửa vòng tròn (từ điểm A đến điểm A’) và một phần ba của nửa vòng tròn tiếp theo (từ điểm A’ đến điểm M).

Chia cung A’A thành ba phần bằng nhau, ta xác định được vị trí của điểm M được biểu diễn như hình bên dưới.

Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

b) Vì π4>0 nên góc lượng giác (OA, ON) quay theo chiều dương.

Gọi N là điểm chính giữa cung AB trên đường tròn lượng giác.

Khi đó vị trí của điểm N thỏa mãn OA,  ON=π4 được biểu diễn như hình bên dưới.

Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

2.2. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

– Trong trường hợp tổng quát, với mỗi góc lượng giác α, lấy điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = α (Hình vẽ).

Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

Gọi tọa độ của điểm M trong hệ tọa độ Oxy là (x; y).

⦁ Hoành độ x của điểm M gọi là côsin của góc lượng giác α và kí hiệu cosα, cosα = x.

⦁ Tung độ y của điểm M gọi là sin của góc lượng giác α và kí hiệu sinα, sinα = y.

⦁ Nếu cosα ≠ 0 thì tỉ số sinαcosα gọi là tang của góc lượng giác α và kí hiệu tanα, tanα=sinαcosα.

⦁ Nếu sinα ≠ 0 thì tỉ số cosαsinα gọi là côtang của góc lượng giác α và kí hiệu là cotα, cotα=cosαsinα.

– Dấu của các giá trị lượng giác của góc α = (OA, OM) phụ thuộc vào vị trí điểm M trên đường tròn lượng giác ­(Hình vẽ).

Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác như sau:

Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

Ví dụ 7. Xét dấu các giá trị lượng giác của góc lượng giác α=2π3.

Hướng dẫn giải

Do Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

Các công thức lượng giác cơ bản:

⦁ cos2α + sin2α = 1, với mọi α;

tanα=1cotα, với cosα ≠ 0, sinα ≠ 0;

1+tan2α=1cos2α, với cosα ≠ 0;

1+cot2α=1sin2α, với sinα ≠ 0.

Ví dụ 8. Cho góc lượng giác α sao cho 3π2<α<2π cosα=15. Tính sinα, tanα, cotα.

Hướng dẫn giải

Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

Bảng dưới đây nêu lên các giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt:

Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

Ví dụ 9. Tính giá trị của biểu thức D=sin25π6+cot2π6+tan3π4+cos2π3.

Hướng dẫn giải

Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

2.3. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

– Hai góc đối nhau (α và – α):

Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

– Hai góc bù nhau (α và π – α):

Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

– Hai góc phụ nhau (α và π2α):

Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

– Hai góc hơn kém nhau π (α và α + π):

Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

Ví dụ 10. Tính:

a) Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

b) N = cos20° + cos40° + cos60° + cos120° + cos140° + cos160°.

Hướng dẫn giải

a) Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

=sinπ6tanπ4

=121=32.

b) N = cos20° + cos40° + cos60° + cos120° + cos140° + cos160°

= cos20° + cos40° + cos60° + cos(180° – 60°) + cos(180° – 40°) + cos(180° – 20°)

= cos20° + cos40° + cos60° – cos60° – cos40° – cos20°

= (cos20° – cos20°) + (cos40° – cos40°) + (cos60° – cos60°)

= 0.

2.4. Sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác của một góc lượng giác

Ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác (đúng hoặc gần đúng) của một góc lượng giác khi biết số đo của góc đó. Cụ thể như sau:

⦁ Nếu đơn vị của góc lượng giác là độ (°), trước hết, ta chuyển máy tính sang chế độ “độ”.

Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

⦁ Nếu đơn vị của góc lượng giác là radian (rad), trước hết, ta chuyển máy tính sang chế độ “radian”.

Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

Bài tập Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Bài 1. Tìm các giá trị lượng giác của góc lượng giác α=3π4.

Hướng dẫn giải

Lấy điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho OA,OM=α=3π4 (hình vẽ).

Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của điểm M lên các trục Ox, Oy.

Khi đó AOM^=3π4.

Suy ra BOM^=KOM^=3π4π2=π4.

Tam giác KOM vuông tại K, có:

OK=OM.cosKOM^=1.cosπ4=22;

MK=OM.sinKOM^=1.sinπ4=22.

Suy ra tọa độ Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều.

Vậy sin3π4=22; cos3π4=22; tan3π4=sin3π4cos3π4=1 cot3π4=cos3π4sin3π4=1.

Bài 2. Tìm số đo α của góc lượng giác (Ou, Ov) với 0 ≤ α ≤ 2π (0° ≤ α ≤ 360°), biết một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đó có số đo là:

a) 33π4;

b) 291983π3;

c) 3270°.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều.

Vì 0 ≤ α ≤ 2π nên 033π4+k2π2π.

33π4k2π25π4.

338k258.

Mà k ∈ ℤ, suy ra k = –4.

Vậy Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều.

b) Ta có: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều.

Vì 0 ≤ α ≤ 2π nên 0291983π3+k2π2π.

291983π3k2π291989π3.

2919836k2919896.

Mà k ∈ ℤ, suy ra k = 48664.

Vậy α=291983π3+48664.2π=π3.

c) Ta có: (Ou,Ov) = α = 3270° + k.360° (k ∈ ℤ).

Vì 0° ≤ α ≤ 360° nên 0° ≤ 3270° + k.360° ≤  360°.

⇔ –3270° ≤ k.360° ≤  –2910°.

10912k9712.

Mà k ∈ ℤ, suy ra k = –9.

Vậy α = 3270° + (–9).360° = 30°.

Bài 3.

a) Cho cosx=23. Tính A=tanx+3cotxtanx+cotx.

b) Cho sinx=45 và 3π2<x<2π. Tính B=sinx+3cosxtanx.

c) Cho tanx = 3. Tính C=sinxcosxsin3x+3cos3x+2sinx.

Hướng dẫn giải

a) Ta có A=tanx+3cotxtanx+cotx=tanx+3.1tanxtanx+1tanx (do cosx ≠ 0)

                 Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

b) Vì 3π2<x<2π nên cosx > 0.

Ta có sin2x + cos2x = 1, suy ra

Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều.

cosx=35 (do cosx > 0).

Suy ra tanx=sinxcosx=45:35=43.

Khi đó B=sinx+3cosxtanx=45+3.3543=34.

c) Do tanx = 3 nên cosx ≠ 0.

Chia cả tử và mẫu của C cho cos3x, ta được:

C=sinxcos3xcosxcos3xsin3xcos3x+3+2.sinxcos3x

Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

Bài 4. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

Hướng dẫn giải

Tam giác ABC, có: A^+B^+C^=180°

Suy ra A^+2B^+C^=180°+B^ và B^+C^=180°A^.

Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

VP = tanA.cot(B + C) = tanA.cot(180° – A) = tanA.(–cotA) = –tanA.cotA = –1 .

Khi đó VT = VP (= –1).

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài 5. Một bánh xe có bán kính R = 2,4 m quay một góc bằng 30°. Tính độ dài đường đi của một điểm bất kì trên vành bánh xe.

Hướng dẫn giải

Ta xem vành bánh xe là một đường tròn có bán kính R = 2,4 m.

Độ dài đường đi của một điểm bất kì trên vành bánh xe là độ dài của cung tròn có số đo 30°.

Vậy độ dài đường đi cần tìm là 30°.2π.R360°=30°.2π.2,4360°=0,4 m.

Học tốt Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Các bài học để học tốt Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác Toán lớp 11 hay khác:

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Cánh diều hay khác: