Hàm số liên tục (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều
Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.
Hàm số liên tục (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều
Lý thuyết Hàm số liên tục
1. Khái niệm
1.1. Hàm số liên tục tại một điểm
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 ∈ (a; b). Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu .
Nhận xét: Hàm số y = f(x) không liên tục tại x0 được gọi là gián đoạn tại x0.
Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số f(x) = x2 + 2 tại x0 = 1.
Hướng dẫn giải
Ta có: .
f(1) = 12 + 2 = 3.
Suy ra .
Vậy hàm số f(x) = x2 + 2 liên tục tại x0 = 1.
1.2. Hàm số liên tục trên một khoảng hoặc một đoạn
– Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
– Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu hàm số liên tục trên khoảng (a; b) và .
Chú ý: Khái niệm hàm số liên tục trên các tập hợp có dạng (a; b], [a; b), (a; +∞), [a; +∞), (–∞; a), (–∞; a], (–∞;+∞) được định nghĩa tương tự.
Nhận xét: Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng là “đường liền” trên khoảng đó.
Ví dụ 2. Hàm số y = x2 + 2x + 1 có liên tục trên đoạn [1; 3] hay không?
Hướng dẫn giải
Với mỗi x0 ∈ (1; 3), ta có
Ta lại có: .
.
Vậy hàm số đã cho liên tục trên đoạn [1; 3].
2. Một số định lí cơ bản
2.1. Tính liên tục của một số hàm số sơ cấp cơ bản
– Các hàm đa thức và hai hàm số lượng giác y = sinx, y = cosx liên tục trên ℝ.
– Các hàm phân thức hữu tỉ và hai hàm số lượng giác y = tanx, y = cotx liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
– Hàm căn thức liên tục trên nửa khoảng [0; +∞).
Ví dụ 3. Hàm số có liên tục trên mỗi khoảng (–∞; 2) và (2; +∞) hay không?
Hướng dẫn giải
Tập xác định của hàm số là D = (–∞; 2) ∪ (2; +∞).
Vậy hàm số liên tục trên mỗi khoảng (–∞; 2) và (2; +∞).
2. Tính liên tục của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục
Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x0. Khi đó:
a) Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x) và y = f(x) . g(x) liên tục tại x0;
b) Hàm số liên tục tại x0 nếu g(x0) ≠ 0.
Ví dụ 4. Cho hàm số .
a) Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 2.
b) Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên tập xác định của hàm số đó.
Hướng dẫn giải
Tập xác định của hàm số là D = ℝ\{5}.
a) Ta có:
Vậy f(x) liên tục tại x = 2.
b) Đặt g(x) = x2 – 4; .
Ta có là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên mỗi khoảng xác định (–∞; 5) và (5; +∞).
Hàm g(x) = x2 – 4 là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ. Do đó hàm số g(x) liên tục trên mỗi khoảng (–∞; 5) và (5; +∞).
Vậy hàm số f(x) = g(x) + h(x) liên tục trên mỗi khoảng (–∞; 5) và (5; +∞).
Bài tập Hàm số liên tục
Bài 1. Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số f(x) = x3 + 2x – 1 tại x0 = –1.
Hướng dẫn giải
Vậy hàm số đã cho liên tục tại x0 = –1.
Bài 2. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của hàm số đó:
a) f(x) = x + sinx;
.
Hướng dẫn giải
a) Hàm số f(x) có tập xác định là ℝ.
Hai hàm số x và sinx liên tục trên ℝ nên hàm số f(x) = x + sinx liên tục trên ℝ.
b) Hàm số có tập xác định là ℝ\{2}.
Do đó hàm số liên tục trên mỗi khoảng (–∞; 2) và (2; +∞).
c) Hàm số h(x) có tập xác định là ℝ.
Vì tử thức cosx liên tục ℝ và mẫu thức x2 + 1 ≠ 0 liên tục trên ℝ.
Vậy h(x) liên tục trên ℝ.
Bài 3. Xét tính liêm tục của hàm số trên tập xác định của nó.
Hướng dẫn giải
Hàm số có TXĐ: D = ℝ.
Hàm số liên tục trên mỗi khoảng (–∞; –1); (–1; 0) và (0; +∞).
• Tại x = –1, ta có:
⇒ Hàm số f(x) liên tục tại x = –1.
• Tại x = 0, ta có:
⇒ Hàm số f(x) liên tục tại x = 0.
Vậy hàm số f(x) liên tục tại mọi điểm x ∈ ℝ.
Bài 4. Tìm giá trị của tham số m để hàm số liên tục trên đoạn [0; 2].
Hướng dẫn giải
Hàm số xác định trên [0; 2] và liên tục trên [0; 2).
Khi đó để f(x) liên tục trên đoạn [0; 2] thì hàm số liên tục tại x = 2.
Tức là ta cần có:
Ta có:
Do đó (*) xảy ra khi và chỉ khi .
Học tốt Hàm số liên tục
Các bài học để học tốt Hàm số liên tục Toán lớp 11 hay khác: