X

Lý thuyết Toán 11 Cánh diều

Giới hạn của dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều


Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Giới hạn của dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

Lý thuyết Giới hạn của dãy số

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

1.1. Định nghĩa

– Dãy số (un) có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu limn+un=0.

– Dãy số (un) có giới hạn hữu hạn là a khi n dần tới dương vô cực nếu Giới hạn của dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều kí hiệu limn+un=a.

Nhận xét: Nếu un càng ngày càng gần tới 0 khi n ngày càng lớn thì lim un = 0.

Chú ý:

– Ngoài kí hiệu limn+un=0, ta cũng sử dụng kí hiệu sau:

lim un = 0 hay un → 0 khi n → +∞.

– Ngoài kí hiệu limn+un=a, ta cũng sử dụng kí hiệu sau:

lim un = a hay un → a khi n → +∞.

– Một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.

– Không phải dãy số nào cũng có giới hạn, chẳng hạn như dãy số (un) với un = (–1)n.

Ví dụ 1. Chứng minh lim2n+1n=2.

Hướng dẫn giải

Giới hạn của dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều nên lim2n+1n=2.

2. Một số giới hạn cơ bản

Ta thừa nhận các giới hạn sau:

a) lim1n=0; lim1nk=0 với k là số nguyên dương cho trước;

b) limcn=0; limcnk=0 với c là hằng số, k là số nguyên dương cho trước;

c) Nếu |q| < 1 thì lim qn = 0;

d) Dãy số (un) với Giới hạn của dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diềucó giới hạn là một số vô tỉ và gọi giới hạn đó là e,

Giới hạn của dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều.

Một giá trị gần đúng của e là 2,718281828459045.

Ví dụ 2. Chứng minh Giới hạn của dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều.

Hướng dẫn giải

Giới hạn của dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều.

2. Định lí về giới hạn hữu hạn

a) Nếu lim un = a,  lim vn = b thì:

lim (un + vn) = a + b;

lim (un – vn) = a – b;

lim (un . vn) = a . b;

Giới hạn của dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều.

b) Nếu un ≥ 0 với mọi n và lim un = a thì a ≥ 0 và limun=a.

Ví dụ 3. Tính giới hạn của dãy số:

Giới hạn của dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều.

Hướng dẫn giải

Giới hạn của dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều.

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân vô hạn u1, u1q, …., u1qn – 1, … có công bội q thỏa mãn |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đã cho là:

S=u1+u1q+....+u1qn1+...=u11q.

Ví dụ 4. Tính tổng S=13+132+...+13n+...

Hướng dẫn giải

Các số hạng của tổng trên lập thành một cấp số nhân (un), có u1=13, công bội q=13.

Suy ra S=13+132+...+13n+...=13113=12.

Vậy S=12.

4. Giới hạn vô cực

Định nghĩa dãy số có giới hạn vô cực:

– Ta nói dãy số (un) có giới hạn + ∞ khi n dần tới dương vô cực, nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu limn+un=+ hay limun=+ hay un → + ∞ khi n → + ∞.

– Ta nói dãy số (un) có giới hạn –∞ khi n dần tới dương vô cực, nếu Giới hạn của dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều.

Kí hiệu limn+un=- hay limun=- hay un → – ∞ khi n → + ∞.

Nhận xét:

• lim nk = + ∞ với k là số nguyên dương cho trước.

• lim qn = + ∞ với q > 1 là số thực cho trước.

• Nếu lim un = a và lim |vn| = + ∞  thì limunvn=0.

• Nếu lim un = a, a > 0 và lim vn = 0, vn > 0 với mọi n  thì limunvn=+.

• lim un = +∞ ⇔ lim (–un) = –∞.

Ví dụ 5. Chứng tỏ rằng Giới hạn của dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều.

Hướng dẫn giải

π2>1 nên Giới hạn của dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều.

Bài tập Giới hạn của dãy số

Bài 1. Tính các giới hạn sau:

a) lim35n2;

b) lim4n+62n;

c) lim4n+6.2n3.4n;

d) lim5+3n24n.

Hướng dẫn giải

a) Ta có Giới hạn của dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều.

Vậy lim35n2=0.

b) Ta có Giới hạn của dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều.

Vậy lim4n+62n=2.

Giới hạn của dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều.

Vậy lim4n+6.2n3.4n=13.

d) Ta có: Giới hạn của dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

Vậy lim5+3n24n=0.

Bài 2. Cho un=1n3+2 và vn=11n. Tính các giới hạn:

lim (un + vn); lim(un – vn); lim(un.vn);  limunvn.

Hướng dẫn giải

Giới hạn của dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều.

Khi đó:

• lim (un + vn) = lim un + lim vn = 2 + 1 = 3.

• lim (un – vn) = lim un – lim vn = 2 – 1 = 1.

• lim (un . vn) = lim un . lim vn = 2 . 1 = 2

limunvn=limunlimvn=21=2.

Bài 3. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn biết u1 = 1, công bội q=23.

Hướng dẫn giải

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = 1, công bội q=23 là:

  S=u1+u1q+...+u1qn1+...=1123=3.

Vậy S = 3.

Học tốt Giới hạn của dãy số

Các bài học để học tốt Giới hạn của dãy số Toán lớp 11 hay khác:

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Cánh diều hay khác: