Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 3 Cánh diều
Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục sách Cánh diều hay nhất, chi tiết với bài tập có lời giải sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 11 Chương 3.
Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 3 Cánh diều
Lý thuyết tổng hợp Toán 11 Chương 3
1. Giới hạn của dãy số
1.1. Giới hạn hữu hạn của dãy số
a) Định nghĩa
– Dãy số (un) có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu .
– Dãy số (un) có giới hạn hữu hạn là a khi n dần tới dương vô cực nếu kí hiệu .
Nhận xét: Nếu un càng ngày càng gần tới 0 khi n ngày càng lớn thì lim un = 0.
Chú ý:
– Ngoài kí hiệu , ta cũng sử dụng kí hiệu sau:
lim un = 0 hay un → 0 khi n → +∞.
– Ngoài kí hiệu , ta cũng sử dụng kí hiệu sau:
lim un = a hay un → a khi n → +∞.
– Một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
– Không phải dãy số nào cũng có giới hạn, chẳng hạn như dãy số (un) với un = (–1)n.
b) Một số giới hạn cơ bản
Ta thừa nhận các giới hạn sau:
• ; với k là số nguyên dương cho trước;
• ; với c là hằng số, k là số nguyên dương cho trước;
• Nếu |q| < 1 thì lim qn = 0;
• Dãy số (un) với có giới hạn là một số vô tỉ và gọi giới hạn đó là e,
.
Một giá trị gần đúng của e là 2,718281828459045.
1.2. Định lí về giới hạn hữu hạn
a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì:
lim (un + vn) = a + b;
lim (un – vn) = a – b;
lim (un . vn) = a . b;
.
b) Nếu un ≥ 0 với mọi n và lim un = a thì a ≥ 0 và .
1.3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Cấp số nhân vô hạn u1, u1q, …., u1qn – 1, … có công bội q thỏa mãn |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đã cho là:
.
1.4. Giới hạn vô cực
Định nghĩa dãy số có giới hạn vô cực:
– Ta nói dãy số (un) có giới hạn + ∞ khi n dần tới dương vô cực, nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu hay hay un → + ∞ khi n → + ∞.
– Ta nói dãy số (un) có giới hạn –∞ khi n dần tới dương vô cực, nếu .
Kí hiệu hay hay un → – ∞ khi n → + ∞.
Nhận xét:
• lim nk = + ∞ với k là số nguyên dương cho trước.
• lim qn = + ∞ với q > 1 là số thực cho trước.
• Nếu lim un = a và lim |vn| = + ∞ thì .
• Nếu lim un = a, a > 0 và lim vn = 0, vn > 0 với mọi n thì .
• lim un = +∞ ⇔ lim (–un) = –∞.
2. Giới hạn của hàm số
2.1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
a) Định nghĩa
Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số f(x) xác định trên K hoặc trên K\{x0}. Hàm số f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, xn ∈ K\{x0} và xn → x0 thì f(xn) → L.
Kí hiệu hay f(x) → L khi x → x0.
Nhận xét: ; , với c là hằng số.
Chú ý: Hàm số f(x) có thể không xác định tại x = x0 nhưng vẫn tồn tại giới hạn của hàm số đó khi x dần tới x0.
b) Phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số
c) Giới hạn một phía
• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; x0).
Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, a < xn < x0 và xn → x0, ta có f(xn) → L.
Kí hiệu .
• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x0; b).
Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, x0 < xn < b và xn → x0, ta có f(xn) → L.
Kí hiệu .
• .
2.2. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
– Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞).
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới dương vô cực nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f(xn) → L.
Kí hiệu hay f(x) → L khi x → +∞.
– Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (–∞; a).
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới âm vô cực nếu với dãy số (xn) bất kì, xn < a và xn → –∞, ta có f(xn) → L.
Kí hiệu hay f(x) → L khi x → –∞.
Chú ý:
+ Với c, k là các hằng số và k nguyên dương, ta luôn có:
+ Các phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số khi x → x0 vẫn còn đúng khi x → +∞ hoặc x → –∞.
2.3. Giới hạn vô cực (một phía) của hàm số tại một điểm
– Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞).
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là +∞ khi x → a+ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → a, ta có f(xn) → +∞.
Kí hiệu hay f(x) → +∞ khi x → a+.
– Các trường hợp được định nghĩa tương tự.
Chú ý: Ta có các giới hạn cơ bản sau:
.
2.4. Giới hạn vô cực của hàm số tại vô cực
– Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞).
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là +∞ khi x dần tới dương vô cực nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f(xn) → +∞.
Kí hiệu hay f(x) →+∞ khi x → +∞.
– Các trường hợp được định nghĩa tương tự.
Chú ý: Ta có ba giới hạn cơ bản sau:
• với k là số nguyên dương.
• k là số nguyên dương chẵn.
• k là số nguyên dương lẻ.
3. Hàm số liên tục
3.1. Khái niệm
a) Hàm số liên tục tại một điểm
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 ∈ (a; b). Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu .
Nhận xét: Hàm số y = f(x) không liên tục tại x0 được gọi là gián đoạn tại x0.
b) Hàm số liên tục trên một khoảng hoặc một đoạn
– Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
– Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu hàm số liên tục trên khoảng (a; b) và .
Chú ý: Khái niệm hàm số liên tục trên các tập hợp có dạng (a; b], [a; b), (a; +∞), [a; +∞), (–∞; a), (–∞; a], (–∞;+∞) được định nghĩa tương tự.
Nhận xét: Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng là “đường liền” trên khoảng đó.
3.2. Một số định lí cơ bản
a) Tính liên tục của một số hàm số sơ cấp cơ bản
– Các hàm đa thức và hai hàm số lượng giác y = sinx, y = cosx liên tục trên ℝ.
– Các hàm phân thức hữu tỉ và hai hàm số lượng giác y = tanx, y = cotx liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
– Hàm căn thức liên tục trên nửa khoảng [0; +∞).
b) Tính liên tục của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục
Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x0. Khi đó:
– Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x) và y = f(x) . g(x) liên tục tại x0;
– Hàm số liên tục tại x0 nếu g(x0) ≠ 0.
Bài tập tổng hợp Toán 11 Chương 3
Bài 1. Tính các giới hạn sau:
a) ;
b) ;
c) ;
d) .
Hướng dẫn giải
Bài 2. Cho và . Tính các giới hạn:
lim (un + vn); lim(un – vn); lim(un.vn); .
Hướng dẫn giải
Khi đó:
• lim (un + vn) = lim un + lim vn = 2 + 1 = 3.
• lim (un – vn) = lim un – lim vn = 2 – 1 = 1.
• lim (un . vn) = lim un . lim vn = 2 . 1 = 2
• .
Bài 3. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn biết u1 = 1, công bội .
Hướng dẫn giải
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = 1, công bội là:
.
Vậy S = 3.
Bài 4. Cho f(x) =1 – x và g(x) = 2x3. Tính các giới hạn sau:
Hướng dẫn giải
Bài 5. Tìm giới hạn của các hàm số sau:
Hướng dẫn giải
Bài 6. Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số f(x) = x3 + 2x – 1 tại x0 = –1.
Hướng dẫn giải
Vậy hàm số đã cho liên tục tại x0 = –1.
Bài 7. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của hàm số đó:
a) f(x) = x + sinx;
Hướng dẫn giải
a) Hàm số f(x) có tập xác định là ℝ.
Hai hàm số x và sinx liên tục trên ℝ nên hàm số f(x) = x + sinx liên tục trên ℝ.
b) Hàm số có tập xác định là ℝ\{2}.
Do đó hàm số liên tục trên mỗi khoảng (–∞; 2) và (2; +∞).
c) Hàm số h(x) có tập xác định là ℝ.
Vì tử thức cosx liên tục ℝ và mẫu thức x2 + 1 ≠ 0 liên tục trên ℝ.
Vậy h(x) liên tục trên ℝ.
Bài 8. Xét tính liêm tục của hàm số trên tập xác định của nó.
Hướng dẫn giải
Hàm số có TXĐ: D = ℝ.
Hàm số liên tục trên mỗi khoảng (–∞; –1); (–1; 0) và (0; +∞).
• Tại x = –1, ta có:
⇒ Hàm số f(x) liên tục tại x = –1.
• Tại x = 0, ta có:
⇒ Hàm số f(x) liên tục tại x = 0.
Vậy hàm số f(x) liên tục tại mọi điểm x ∈ ℝ.
Bài 9. Tìm giá trị của tham số m để hàm số liên tục trên đoạn [0; 2].
Hướng dẫn giải
Hàm số xác định trên [0; 2] và liên tục trên [0; 2).
Khi đó để f(x) liên tục trên đoạn [0; 2] thì hàm số liên tục tại x = 2.
Tức là ta cần có:
Ta có:
Do đó (*) xảy ra khi và chỉ khi .
Học tốt Toán 11 Chương 3
Các bài học để học tốt Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 3 Toán lớp 11 hay khác: