Giới hạn của hàm số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Giới hạn của hàm số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

Lý thuyết Giới hạn của hàm số

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

1.1. Định nghĩa

Cho khoảng K chứa điểm x₀ và hàm số f(x) xác định trên K hoặc trên K\{x₀}. Hàm số f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n ∈ K\{x₀} và x_n → x₀ thì f(x_n) → L.

Kí hiệu  hay f(x) → L khi x → x₀.

Nhận xét: $\underset{x\to x_0}{\lim }x=x_0$; $\underset{x\to x_0}{\lim }c=c$, với c là hằng số.

Chú ý: Hàm số f(x) có thể không xác định tại x = x₀ nhưng vẫn tồn tại giới hạn của hàm số đó khi x dần tới x₀.

Ví dụ 1. Xét hàm số  (x ≠ 2). Chứng minh rằng

Hướng dẫn giải

Giả sử (x_n) là dãy bất kì, thỏa mãn x_n ≠ 2 và lim x_n = 2.

.

1.2. Phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số

.

Ví dụ 2. Tìm

a) ;

b) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x+3}{x-4}$.

Hướng dẫn giải

.

1.3. Giới hạn một phía

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; x₀).

Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) khi x dần tới  x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì, a < x_n < x₀ và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu .

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x₀; b).

Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi x dần tới x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x₀ < x_n < b và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu .

•  khi và chỉ khi .

Ví dụ 3.

.

Hướng dẫn giải

.

2. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

– Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới dương vô cực nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n > a và x_n → +∞, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu  hay f(x) → L khi x → +∞.

– Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (–∞; a).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới âm vô cực nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n < a và x_n → –∞, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu  hay f(x) → L khi x → –∞.

Chú ý:

+ Với c, k là các hằng số và k nguyên dương, ta luôn có:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }c=c;\underset{x\to -\infty }{\lim }c=c;\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{c}{x^k}=0;\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{c}{x^k}=0.$

+ Các phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số khi x → x₀ vẫn còn đúng khi x → +∞ hoặc x → –∞.

Ví dụ 4. Tìm $\underset{x\to +\infty }{\lim }c=c;\underset{x\to -\infty }{\lim }c=c;\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{c}{x^k}=0;\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{c}{x^k}=0.$.

Hướng dẫn giải

.

3. Giới hạn vô cực (một phía) của hàm số tại một điểm

– Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là +∞ khi x → a⁺ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n > a và x_n → a, ta có f(x_n) → +∞.

Kí hiệu  hay f(x) → +∞ khi x → a⁺.

– Các trường hợp ;  được định nghĩa tương tự.

Chú ý: Ta có các giới hạn cơ bản sau:

$\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{1}{x-a}=+\infty ;\underset{x\to a^{-}}{\lim }\frac{1}{x-a}=-\infty$.

Ví dụ 5. Tính $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{1}{x-3}$.

Hướng dẫn giải

Ta có $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{1}{x-3}$.

Vậy $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{1}{x-3}=-\infty$.

4. Giới hạn vô cực của hàm số tại vô cực

– Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là  +∞ khi x dần tới dương vô cực nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n > a và x_n → +∞, ta có f(x_n) → +∞.

Kí hiệu  hay f(x) →+∞ khi x →  +∞.

– Các trường hợp  được định nghĩa tương tự.

Chú ý: Ta có ba giới hạn cơ bản sau:

• $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^k=+\infty$ với k là số nguyên dương.

• $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^k=+\infty$ k là số nguyên dương chẵn.

• $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^k=-\infty$ k là số nguyên dương lẻ.

Ví dụ 6. $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^5=+\infty$; $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^5=-\infty$.

Bài tập Giới hạn của hàm số

Bài 1. Cho f(x) =1 – x và g(x) = 2x³. Tính các giới hạn sau:

.

Hướng dẫn giải

.

Bài 2. Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn của hàm số:

a) $\underset{x\to 1}{\lim }{x}^3$;

b) $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{4-x^2}{2+x}$.

Hướng dẫn giải

a) Giả sử (x_n) là một dãy bất kì và x_n → 1 khi n → +∞.

Khi đó $\mathrm{l}{\text{imx}}_n^3=1^3=1$.

Vậy $\underset{x\to 1}{\lim }{x}^3=1$.

b) Giả sử (x_n) là một dãy bất kì thỏa mãn x_n ≠ –2 và x_n → –2 khi n → +∞.

Vậy $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{4-x^2}{2+x}=4$.

Bài 3. Tìm giới hạn của các hàm số sau:

a) ;

b) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2+x-2}{x-1}$;

c) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x+2}{x-1}$

Hướng dẫn giải

.

Học tốt Giới hạn của hàm số

Các bài học để học tốt Giới hạn của hàm số Toán lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số