X

Lý thuyết Toán 11 Cánh diều

Các phép biến đổi lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều


Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Các phép biến đổi lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

Lý thuyết Các phép biến đổi lượng giác

1. Công thức cộng

Công thức cộng:

⦁ sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb;

⦁ sin(a – b) = sina.cosb – cosa.sinb.

⦁ cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb;

⦁ cos(a – b) = cosa.cosb + sina.sinb.

Các phép biến đổi lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

Ví dụ 1. Tính:

a) sin13π12;

b) sin15°.

c) cos105°;

d) cosπ12.

Hướng dẫn giải

a) Áp dụng công thức cộng đối với sin, ta được:

Các phép biến đổi lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

Vậy sin13π12=6+24.

b) Áp dụng công thức cộng đối với sin, ta được:

sin15° = sin(60° – 45°) = sin60°.cos45° – cos60°.sin45°

           =32.2212.22=624.

Vậy sin15°=624.

c) Áp dụng công thức cộng đối với côsin, ta được:

cos105° = cos(60° + 45°) = cos60°.cos45° – sin60°.sin45°

             =12.2232.22=6+24.

Vậy cos105°=6+24.

d) Áp dụng công thức cộng đối với côsin, ta được:

Các phép biến đổi lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

           =22.32+22.12=6+24.

Vậy cosπ12=6+24.

Ví dụ 2. Tính:

a) tan17π12;

b) tan15°.

Hướng dẫn giải

a) Áp dụng công thức cộng đối với tang, ta được:

Các phép biến đổi lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

Vậy tan17π12=2+3.

b) Áp dụng công thức cộng đối với tang, ta được:

Các phép biến đổi lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

Vậy tan15°=23.

2. Công thức nhân đôi

Công thức nhân đôi:

⦁ sin2a = 2sina.cosa;

⦁ cos2a = cos2a – sin2a;

tan2a=2tana1tan2a (khi các biểu thức đều có nghĩa).

Nhận xét:

⦁ cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a;

cos2a=1+cos2a2;  sin2a=1cos2a2 (thường gọi là công thức hạ bậc).

Ví dụ 3. Cho sina=35 0<a<π2. Tính cos2a, cosa, sin2a, tan2a.

Hướng dẫn giải

• Áp dụng công thức nhân đôi, ta được:

Các phép biến đổi lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

• Vì 0<a<π2 nên cosa > 0.

Áp dụng công thức hạ bậc, ta được:

cos2a=1+cos2a2=1+7252=1625 cosa=45.

• Áp dụng công thức nhân đôi, ta được:

sin2a=2sina.cosa=2.35.45=2425.

Ta có tana=sinacosa=35:45=34.

• Áp dụng công thức nhân đôi, ta được:

Các phép biến đổi lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

Vậy cos2a=725; cosa=45; sin2a=2425 tan2a=247.

3. Công thức biến đổi tích thành tổng

Công thức biến đổi tích thành tổng:

Các phép biến đổi lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

Ví dụ 4. Biến đổi các tích sau thành tổng:

a) M=cos7π24.cosπ24;

b) N = 2sin3x.sinx.

Hướng dẫn giải

Các phép biến đổi lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

4. Công thức biến đổi tổng thành tích

Công thức biến đổi tổng thành tích:

cosu+cosv=2.cosu+v2.cosuv2;

cosucosv=2.sinu+v2.sinuv2;

sinu+sinv=2.sinu+v2.cosuv2;

sinusinv=2.cosu+v2.sinuv2.

Ví dụ 5. Tính:

a) P = sinx + sin9x;

b) Q=cos75°+cos15°cos75°cos15°.

Hướng dẫn giải

a) P = sinx + sin9x =  sin9x + sinx

=2sin9x+x2.cos9xx2

= 2sin5x.cos4x.

b) Q=cos75°+cos15°cos75°cos15°.

=2cos75°+15°2.cos75°15°22sin75°+15°2.sin75°15°2

=cos45°.cos30°sin45°.sin30°

= –cot45°.cot30°

=3.

Bài tập Các phép biến đổi lượng giác

Bài 1. Tính α + β biết tanα=25,  tanβ=37.

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức cộng đối với tang, ta được: Các phép biến đổi lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

Vậy α+β=π4.

Bài 2. Cho cos2a=45, với π4<a<π2. Tính sina, cosa, Các phép biến đổi lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều, sin2a, Các phép biến đổi lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều.

Hướng dẫn giải

π4<a<π2 nên sina > 0, cosa > 0.

• Áp dụng công thức hạ bậc, ta được: sin2a=1cos2a2=1+452=910

Suy ra sina=310 (do sina > 0)

• Áp dụng công thức hạ bậc, ta được: cos2a=1+cos2a2=1452=110.

Suy ra cosa=110.

• Áp dụng công thức cộng đối với sin, ta được:

Các phép biến đổi lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

=310.12+110.32=30+31020.

• Áp dụng công thức nhân đôi, ta được:

sin2a=2sinacosa=2.310.110=35.

• Áp dụng công thức cộng đối với côsin, ta được:

Các phép biến đổi lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

Bài 3. Chứng minh rằng:

a) cos3x.sinxsin3x.cosx=14sin4x;

Các phép biến đổi lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

Hướng dẫn giải

a) VT = cos3x.sinx – sin3x.cosx

= cosx.sinx.(cos2x – sin2x)

=12sin2x.cos2x

=14sin4x = VP.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Các phép biến đổi lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

Bài 4. Cho ∆ABC. Chứng minh rằng:

a) sinA+sinB+sinC=4cosA2cosB2cosC2;

b) sinA+sinBcosA+cosB=cotC2;

c) sin2A+sin2B+sin2C=2SR2, với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC và S là diện tích ∆ABC.

Hướng dẫn giải

∆ABC, có: A^+B^+C^=180°, suy ra A^+B^=180°C^

Do đó A^+B^2=90°C^2.

Các phép biến đổi lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

b) VT=sinA+sinBcosA+cosB=2sinA+B2cosAB22cosA+B2cosAB2

Các phép biến đổi lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

Vậy ta có điều phải chứng minh.

c) VT = sin2A + sin2B + sin2C

= 2sin(A + B).cos(A – B) + 2sinC.cosC

= 2sin(180° – C).cos(A – B) + 2sinC.cosC

= 2sinC.cos(A – B) + 2sinC.cosC

= 2sinC.[cos(A – B) + cosC]

= 2sinC.[cos(A – B) + cos(180° – A – B)]

= 2sinC.[cos(A – B) – cos(A + B)]

= –4sinC.sinA.sin(–B)

= 4sinA.sinB.sinC

=4.a2R.b2R.c2R=abc4R.2R2=2SR2=VP.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Học tốt Các phép biến đổi lượng giác

Các bài học để học tốt Các phép biến đổi lượng giác Toán lớp 11 hay khác:

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Cánh diều hay khác: