Các phép biến đổi lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều
Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.
Các phép biến đổi lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều
Lý thuyết Các phép biến đổi lượng giác
1. Công thức cộng
Công thức cộng:
⦁ sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb;
⦁ sin(a – b) = sina.cosb – cosa.sinb.
⦁ cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb;
⦁ cos(a – b) = cosa.cosb + sina.sinb.
Ví dụ 1. Tính:
a) ;
b) sin15°.
c) cos105°;
d) .
Hướng dẫn giải
a) Áp dụng công thức cộng đối với sin, ta được:
Vậy .
b) Áp dụng công thức cộng đối với sin, ta được:
sin15° = sin(60° – 45°) = sin60°.cos45° – cos60°.sin45°
.
Vậy .
c) Áp dụng công thức cộng đối với côsin, ta được:
cos105° = cos(60° + 45°) = cos60°.cos45° – sin60°.sin45°
.
Vậy .
d) Áp dụng công thức cộng đối với côsin, ta được:
.
Vậy .
Ví dụ 2. Tính:
a) ;
b) tan15°.
Hướng dẫn giải
a) Áp dụng công thức cộng đối với tang, ta được:
Vậy .
b) Áp dụng công thức cộng đối với tang, ta được:
Vậy .
2. Công thức nhân đôi
Công thức nhân đôi:
⦁ sin2a = 2sina.cosa;
⦁ cos2a = cos2a – sin2a;
⦁ (khi các biểu thức đều có nghĩa).
Nhận xét:
⦁ cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a;
⦁ (thường gọi là công thức hạ bậc).
Ví dụ 3. Cho và . Tính cos2a, cosa, sin2a, tan2a.
Hướng dẫn giải
• Áp dụng công thức nhân đôi, ta được:
• Vì nên cosa > 0.
Áp dụng công thức hạ bậc, ta được:
.
• Áp dụng công thức nhân đôi, ta được:
.
Ta có .
• Áp dụng công thức nhân đôi, ta được:
Vậy ; ; và .
3. Công thức biến đổi tích thành tổng
Công thức biến đổi tích thành tổng:
Ví dụ 4. Biến đổi các tích sau thành tổng:
a) ;
b) N = 2sin3x.sinx.
Hướng dẫn giải
4. Công thức biến đổi tổng thành tích
Công thức biến đổi tổng thành tích:
⦁ ;
⦁ ;
⦁ ;
⦁ .
Ví dụ 5. Tính:
a) P = sinx + sin9x;
b) .
Hướng dẫn giải
a) P = sinx + sin9x = sin9x + sinx
= 2sin5x.cos4x.
b) .
= –cot45°.cot30°
.
Bài tập Các phép biến đổi lượng giác
Bài 1. Tính α + β biết .
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức cộng đối với tang, ta được:
Vậy .
Bài 2. Cho , với . Tính sina, cosa, , sin2a, .
Hướng dẫn giải
Vì nên sina > 0, cosa > 0.
• Áp dụng công thức hạ bậc, ta được:
Suy ra (do sina > 0)
• Áp dụng công thức hạ bậc, ta được: .
Suy ra .
• Áp dụng công thức cộng đối với sin, ta được:
.
• Áp dụng công thức nhân đôi, ta được:
.
• Áp dụng công thức cộng đối với côsin, ta được:
Bài 3. Chứng minh rằng:
a) ;
Hướng dẫn giải
a) VT = cos3x.sinx – sin3x.cosx
= cosx.sinx.(cos2x – sin2x)
= VP.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài 4. Cho ∆ABC. Chứng minh rằng:
a) ;
b) ;
c) , với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC và S là diện tích ∆ABC.
Hướng dẫn giải
∆ABC, có: , suy ra
Do đó .
b)
Vậy ta có điều phải chứng minh.
c) VT = sin2A + sin2B + sin2C
= 2sin(A + B).cos(A – B) + 2sinC.cosC
= 2sin(180° – C).cos(A – B) + 2sinC.cosC
= 2sinC.cos(A – B) + 2sinC.cosC
= 2sinC.[cos(A – B) + cosC]
= 2sinC.[cos(A – B) + cos(180° – A – B)]
= 2sinC.[cos(A – B) – cos(A + B)]
= –4sinC.sinA.sin(–B)
= 4sinA.sinB.sinC
.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Học tốt Các phép biến đổi lượng giác
Các bài học để học tốt Các phép biến đổi lượng giác Toán lớp 11 hay khác: