Cấp số cộng (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều
Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 2: Cấp số cộng sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.
Cấp số cộng (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều
Lý thuyết Cấp số cộng
1. Định nghĩa
Cấp số cộng là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi d, tức là:
un = un – 1 + d với n ≥ 2.
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
Chú ý:
– Khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi.
– Nếu (un) là cấp số cộng với công sai d thì với số tự nhiên n ≥ 2, ta có: un – un – 1 = d.
Ví dụ 1. Cho cấp số cộng (un) với u1 = 2, công sai d = 3. Hãy viết ba số hạng đầu của cấp số cộng đó.
Hướng dẫn giải
Ba số hạng đầu của (un) là u1 = 2; u2 = u1 + 3 = 2 + 3 = 5; u3 = u2 + 3 = 5 + 3 = 8.
Vậy u1 = 2; u2 = 5; u3 = 8.
2. Số hạng tổng quát
Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu là u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức:
un = u1 + (n – 1)d với n ≥ 2.
Nhận xét: Với d ≠ 0, từ công thức un = u1 + (n – 1)d, ta có với n ≥ 2.
Ví dụ 2. Cho cấp số cộng (un) với u1 = –1 và công sai d = 4.
a) Tính u5.
b) Số 35 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng (un)?
Hướng dẫn giải
a) Theo công thức tổng quát của cấp số cộng ta có:
u5 = u1 + (5 – 1)d = –1 + 4.4 = 15.
Vậy u5 = 15.
b) Giả sử 35 là số hạng thứ n của cấp số cộng. Ta có:
.
Vậy 35 là số hạng thứ 10 của cấp số cộng.
3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng
Cho cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d. Đặt Sn = u1 + u2 + u3 + … + un.
Khi đó:
Nhận xét: Do un = u1 + (n – 1)d nên u1 + un = 2u1 + (n – 1)d.
Suy ra
Ví dụ 3. Hãy tính tổng S = –1+ 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + 23 + 27.
Hướng dẫn giải
Ta thấy dãy số –1, 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27 là cấp số cộng có số hạng đầu u1 = –1, công sai d = 4 và số hạng cuối là u8 = 27, nên số các số hạng của cấp số cộng là 8.
Do đó .
Vậy S8 = 104.
Bài tập Cấp số cộng
Bài 1. Cho dãy số (un) với un = 5 – 3n.
a) Chứng minh dãy số (un) là cấp số cộng. Chỉ rõ u1 và d.
b) Tìm tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy.
Hướng dẫn giải
a) Xét hiệu un + 1 – un = [5 – 3(n + 1)] – (5 – 3n) = –3.
Do đó un + 1 = un + (–3)
Suy ra dãy số (un) là cấp số cộng; u1 = 5 – 3.1 = 2; công sai d = –3.
b) Tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy là:
.
Bài 2. Cho cấp số cộng có u1 = 3; công sai d = 4.
a) Viết công thức của số hạng tổng quát un.
b) Số 155 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên?
c) Tính tổng 200 số hạng đầu của dãy.
Hướng dẫn giải
a) Ta có công thức của số hạng tổng quát un là:
un = u1 + (n – 1).d = 3 + (n – 1).4 = 4n – 1.
Vậy un = 4n – 1.
b) Giả sử 155 là số hạng thứ n của cấp số cộng. Ta có:
.
Vậy 155 là số hạng thứ 39 của cấp số cộng.
c) Tổng 200 số hạng đầu của dãy là:
.
Vậy tổng 200 số hạng đầu của dãy là S200 = 80200.
Học tốt Cấp số cộng
Các bài học để học tốt Cấp số cộng Toán lớp 11 hay khác: