X

Lý thuyết Toán 11 Cánh diều

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 2 Cánh diều


Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân sách Cánh diều hay nhất, chi tiết với bài tập có lời giải sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 11 Chương 2.

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 2 Cánh diều

Lý thuyết tổng hợp Toán 11 Chương 2

1. Dãy số

1.1. Khái niệm

Khái niệm dãy số hữu hạn: Mỗi hàm số u: {1; 2; 3; …; m} → ℝ (m ∈ ℕ*) được gọi là một dãy số hữu hạn.

Do mỗi số nguyên dương k (1 ≤ k ≤ m) tương ứng với đúng một số uk nên ta có thể viết dãy số đó dưới dạng khai triển: u1, u2, u3, …., um.

– Số u1 gọi là số hạng đầu, số um gọi là số hạng cuối của dãy số đó.

Khái niệm dãy số vô hạn: Mỗi hàm số u: ℕ* → ℝ được gọi là một dãy số vô hạn.

Do mỗi số nguyên dương n tương ứng với đúng một số un nên ta có thể viết dãy số đó dưới dạng khai triển: u1, u2, u3, …., un, ...

– Dãy số đó còn được viết tắt là (un).

– Số u1 gọi là số hạng thứ nhất (hay số hạng đầu), số u2 gọi là số hạng thứ hai, …, số un gọi là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số.

Chú ý: Dãy số không đổi là dãy số có tất cả các số hạng đều bằng nhau.

1.2. Cách cho một dãy số

Ta có thể cho dãy số bằng một trong những cách sau:

– Liệt kê các số hạng của dãy số đó (với những dãy số hữu hạn và có ít số hạng).

– Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số đó.

– Cho công thức của số hạng tổng quát của dãy số đó.

– Cho bằng phương pháp truy hồi.

1.3. Dãy số tăng, dãy số giảm

– Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu un+1 > un với mọi n ∈ ℕ*.

– Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm nếu un+1 < un với mọi n ∈ ℕ*.

Chú ý: Không phải mọi dãy số đều là dãy số tăng hay giảm. Chẳng hạn, dãy số (un) với (un) = (–1)n có dạng khai triển –1, 1, –1, 1, –1, … không là dãy số tăng, cũng không là dãy số giảm.

1.4. Dãy số bị chặn

– Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho un ≤ M với mọi n ∈ ℕ*.

– Dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho un ≥ m với mọi n ∈ ℕ*.

– Dãy số (un) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới; tức là tồn tại các số m và M sao m ≤ un ≤ M với mọi n ∈ ℕ*.

2. Cấp số cộng

2.1. Định nghĩa

Cấp số cộng là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi d, tức là:

un = un – 1 + d với n ≥ 2.

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

Chú ý:

– Khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi.

– Nếu (un) là cấp số cộng với công sai d thì với số tự nhiên n ≥ 2, ta có: un – un – 1 = d.

2.2. Số hạng tổng quát

Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu là u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức:

un = u1 + (n – 1)d với n ≥ 2.

Nhận xét: Với d ≠ 0, từ công thức un = u1 + (n – 1)d, ta có n=unu1d+1 với n ≥ 2.

2.3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

Cho cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d. Đặt Sn = u1 + u2 + u3 + … + un.

Khi đó:

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 2 Cánh diều

Nhận xét: Do un = u1 + (n – 1)d nên u1 + un = 2u1 + (n – 1)d.

Suy ra Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 2 Cánh diều

3. Cấp số nhân

3.1. Định nghĩa

Cấp số nhân là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q, tức là: un = un – 1.q với n ≥ 2.

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Chú ý:

– Khi q = 1 thì cấp số nhân là một dãy số không đổi.

– Nếu (un) là cấp số nhân với công bội q và un ≠ 0 với mọi n ≥ 1 thì với số tự nhiên n ≥ 2, ta có: unun1=q.

3.2. Số hạng tổng quát

Nếu cấp số nhân (un) có số hạng đầu là u1 và công bội q thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức:

un = u1. qn – 1  với n ≥ 2.

3.3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân

Cho cấp số nhân (un) có số hạng đầu u1 và công bội q ≠ 1.

Đặt Sn = u1 + u2 + u3 + … + un. Khi đó:

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 2 Cánh diều

Chú ý: Nếu q = 1 thì Sn = nu1.

Bài tập tổng hợp Toán 11 Chương 2

Bài 1. Cho dãy số (un) với un = (–1)n.2n.

a) Hãy viết 6 số hạng đầu của dãy;

b) Viết dạng khai triển của dãy.

Hướng dẫn giải

a) Sáu số hạng đầu của dãy là:

u1 = –2; u2 = 4; u3 = –6; u4 = 8; u5 = –10; u6 = 12.

b) Dạng khai triển của dãy (un) là: –2, 4, –6, 8, …., (–1)n.2n, ….

Bài 2. Chứng minh rằng dãy số (un) với un=43n2 là dãy số giảm và bị chặn trên.

Hướng dẫn giải

• Ta có:

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 2 Cánh diều

Vì n ∈ ℕ* nên 2n + 1 ≥ 3

Suy ra  –(2n + 1) ≤ –3 < 0

Do đó un+1 < un, suy ra dãy số là dãy số giảm.

• Vì n2 ≥ 1 với mọi n ∈ ℕ* nên –n2 ≤ –1

Suy ra 43n213

Hay un13 với mọi n ∈ ℕ*.

Do đó dãy số (un) là dãy số bị chặn trên.

Bài 3. Hãy nêu cách xác định mỗi dãy số sau:

a) Cho dãy số (un) với un là các số chính phương được sắp xếp từ bé đến lớn (1)

b) Cho dãy số (un) với un=2nn2+1(2)

c)  Cho dãy số (un) với  u1 = –1, un = 2un – 1 + 3 (với n > 1) (3)

Hướng dẫn giải

a) Dãy số (1) được xác định bằng cách diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số.

b) Dãy số (2) được xác định bằng cách cho công thức của số hạng tổng quát của dãy số.

c) Dãy (3) được xác định bằng phương pháp truy hồi.

Bài 4. Cho dãy số (un) với un = 5 – 3n.

a) Chứng minh dãy số (un) là cấp số cộng. Chỉ rõ u1 và d.

b) Tìm tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy.

Hướng dẫn giải

a) Xét hiệu un + 1 – un = [5 – 3(n + 1)] – (5 – 3n) = –3.

Do đó un + 1 = un + (–3)

Suy ra dãy số (un) là cấp số cộng; u1 = 5 – 3.1 = 2; công sai d = –3.

b) Tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy là:

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 2 Cánh diều.

Bài 5. Cho cấp số cộng có u1 = 3; công sai d = 4.

a) Viết công thức của số hạng tổng quát un.

b) Số 155 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên?

c) Tính tổng 200 số hạng đầu của dãy.

Hướng dẫn giải

a) Ta có công thức của số hạng tổng quát un là:

un = u1 + (n – 1).d = 3 + (n – 1).4 = 4n – 1.

Vậy un = 4n – 1.

b) Giả sử 155 là số hạng thứ n của cấp số cộng. Ta có:

n=unu1d+1=15534+1=39.

Vậy 155 là số hạng thứ 39 của cấp số cộng.

c) Tổng 200 số hạng đầu của dãy là:

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 2 Cánh diều.

Vậy tổng 200 số hạng đầu của dãy là S200 = 80200.

Bài 6. Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? Vì sao?

a) –2, 4, –8, 16, –32, 64, –128, 256.

b) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.

Hướng dẫn giải

a) Từ số hạng thứ hai của dãy số ta thấy số hạng sau gấp –2 lần số hạng trước của dãy.

Vì vậy dãy –2, 4, –8, 16, –32, 64, –128, 256 là cấp số nhân với số hạng đầu u1 = –2 và công bội q = –2.

b) Ta có 4194 nên dãy 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 không phải là cấp số nhân.

Bài 7. Cho dãy số (un) có un = (–1)n+1 . 32n+1. Chứng minh dãy (un) là một cấp số nhân. Chỉ rõ u1 và công bội q.

Hướng dẫn giải

Ta xét tỉ số:

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 2 Cánh diều.

Suy ra dãy số (un) là một cấp số nhân có công bội q = –9 và u1 = (–1)1+1 . 32.1+1 = 27.

Vậy u1 = 27 và q = –9.

Bài 8. Cho cấp số nhân (un) có u5 = 8 và u11 = 512.

a) Tính số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân (biết công bội q > 0).

b) Tính u20 và S20.

Hướng dẫn giải

a) Ta có Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 2 Cánh diều

Do q > 0 nên u11u5=u1.q10u1.q4=q6=64q=2 (do q > 0).

Thay q = 2 trở lại hệ ta được u1 = 12.

Vậy cấp số nhân đã cho có u1 = 12 và q = 2.

b) Ta có u20 = u1.q20 – 1 = u1.q19 = 12.219=218=262144.

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 2 Cánh diều.

Vậy u20 = 262144 và S20=10485752.

Học tốt Toán 11 Chương 2

Các bài học để học tốt Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 2 Toán lớp 11 hay khác:

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Cánh diều hay khác: