Bài 4 trang 70 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Từ hình vuông đầu tiên có cạnh bằng 1 (đơn vị độ dài), nối các trung điểm của bốn cạnh để có hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông thứ hai để được hình vuông thứ ba. Cứ tiếp tục làm như thế, nhận được một dãy hình vuông (xem Hình 5).

Giải Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số - Chân trời sáng tạo

Bài 4 trang 70 Toán 11 Tập 1: Từ hình vuông đầu tiên có cạnh bằng 1 (đơn vị độ dài), nối các trung điểm của bốn cạnh để có hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông thứ hai để được hình vuông thứ ba. Cứ tiếp tục làm như thế, nhận được một dãy hình vuông (xem Hình 5).

a) Kí hiệu a_n là diện tích của hình vuông thứ n và S_n là tổng diện tích của n hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính a_n, S_n (n = 1, 2, 3, ...) và tìm limS_n (giới hạn này nếu có được gọi là tổng diện tích của các hình vuông).

b) Kí hiệu p_n là chu vi của hình vuông thứ n và Q_n là tổng chu vi của n hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính p_n và Q_n (n = 1, 2, 3, ...) và tìm limQ_n (giới hạn này nếu có được gọi là tổng chu vi của các hình vuông).

Lời giải:

a) Diện tích của các hình vuông lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn (a_n) với số hạng đầu là u₁ = 1 và công bội $\frac{1}{2}$ nên công thức tổng quát của a_n = ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$.

Ta có: $S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\mathrm{...}+\frac{1}{2^n}+\mathrm{...}$

Tổng cấp số nhân lùi vô hạn là: $S=\lim S_n=\lim \left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\mathrm{...}+\frac{1}{2^n}+\mathrm{...}\right)=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$.

b) Chu vi p_n của hình vuông lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u₁ = 4 và công bội q = $\frac{1}{2}$ có số hạng tổng quát là: $p_n=4{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$.

Ta có: $Q_n=4+4.\frac{1}{2}+4.\frac{1}{4}+\mathrm{...}+4.\frac{1}{2^n}+\mathrm{...}$

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là: $Q=\lim Q_n=\lim \left(4+4.\frac{1}{2}+4.\frac{1}{4}+\mathrm{...}+4.\frac{1}{2^n}+\mathrm{...}\right)=\frac{4}{1-\frac{1}{2}}=8$.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số hay, chi tiết khác:

• Hoạt động khởi động trang 64 Toán 11 Tập 1: Bạn nam thứ 1: Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,666... và số $\frac{2}{3}$ là hai số bằng nhau ....

• Hoạt động khám phá 1 trang 64 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với $u_n=\frac{{\left(-1\right)}^n}{n}$ ....

• Thực hành 1 trang 65 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau: a) $\lim \frac{1}{n^2}$ ....

• Hoạt động khám phá 2 trang 65 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với $u_n=\frac{2n+1}{n}$ ....

• Thực hành 2 trang 65 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau: a) $\lim \left(2+{\left(\frac{2}{3}\right)}^n\right)$ ....

• Hoạt động khám phá 3 trang 66 Toán 11 Tập 1: Ở trên ta đã biết $\lim \left(3+\frac{1}{n^2}\right)=\lim \frac{3n^2+1}{n^2}=1$ ....

• Thực hành 3 trang 66 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau: a) $\lim \frac{2n^2+3n}{n^2+1}$ ....

• Hoạt động khám phá 4 trang 67 Toán 11 Tập 1: Từ một hình vuông có cạnh bằng 1, tô màu một nửa hình vuông ....

• Thực hành 4 trang 68 Toán 11 Tập 1: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: $1+\frac{1}{3}+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2+\mathrm{...}+{\left(\frac{1}{3}\right)}^n+\mathrm{...}$ ....

• Vận dụng 1 trang 68 Toán 11 Tập 1: Từ tờ giấy, cắt một hình tròn bán kính R (cm) như Hình 3a ....

• Hoạt động khám phá 5 trang 68 Toán 11 Tập 1: Dựng một dãy hình vuông bằng cách ghép từ các hình vuông đơn vị (cạnh bằng 1 đơn vị độ dài) theo các bước như Hình 4 ....

• Bài 1 trang 69 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau: a) $\lim \frac{-2n+1}{n}$ ....

• Bài 2 trang 69 Toán 11 Tập 1: Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn sau: a) $-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\mathrm{...}+{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n+\mathrm{...}$ ....

• Bài 3 trang 69 Toán 11 Tập 1: Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,444 ... dưới dạng phân số ....

• Bài 5 trang 70 Toán 11 Tập 1: Xét quá trình tạo ra hình có chu vi vô cực và diện tích bằng 0 như sau: ....