HĐ4 trang 20 Toán 11 Tập 1 - Kết nối tri thức

Xây dựng công thức biến đổi tổng thành tích

Giải Toán 11 Bài 2: Công thức lượng giác - Kết nối tri thức

HĐ4 trang 20 Toán 11 Tập 1: Xây dựng công thức biến đổi tổng thành tích

Trong các công thức biến đổi tích thành tổng ở Mục 3, đặt u = a – b, v = a + b và viết các công thức nhận được.

Lời giải:

Ta có: cos a cos b = $\frac{1}{2}$ [cos(a – b) + cos(a + b)] (1);

sin a sin b = $\frac{1}{2}$ [cos(a – b) – cos(a + b)] (2);

sin a cos b = $\frac{1}{2}$ [sin(a – b) + sin(a + b)] (3).

Đặt u = a – b, v = a + b.

Ta có: u + v = (a – b) + (a + b) = 2a và u – v = (a – b) – (a + b) = – 2b.

Suy ra, $a = \frac{u + v}{2}, b = - \frac{u - v}{2}$ .

Khi đó:

+) (1) trở thành $\cos \frac{u + v}{2} \cos (- \frac{u - v}{2}) = \frac{1}{2} (\cos u + \cos v)$

$\Leftrightarrow \cos u + \cos v = 2 \cos \frac{u + v}{2} \cos \frac{u - v}{2}$ (do $\cos (- \frac{u - v}{2}) = \cos \frac{u - v}{2}$ ).

+) (2) trở thành $\sin \frac{u + v}{2} \sin (- \frac{u - v}{2}) = \frac{1}{2} (\cos u - \cos v)$

$\Leftrightarrow \cos u - \cos v = - 2 \sin \frac{u + v}{2} \sin \frac{u - v}{2}$ (do $\sin (- \frac{u - v}{2}) = - \sin \frac{u - v}{2}$ ).

+) (3) trở thành $\sin \frac{u + v}{2} \cos (- \frac{u - v}{2}) = \frac{1}{2} (\sin u + \sin v)$

$\Leftrightarrow \sin u + \sin v = 2 \sin \frac{u + v}{2} \cos \frac{u - v}{2}$ .

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 2: Công thức lượng giác hay, chi tiết khác: