Lý thuyết Toán 12 Kết nối tri thức Học kì 2 (hay, chi tiết)

---

Haylamdo biên soạn tóm tắt lý thuyết Toán 12 Học kì 2 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết bám sát nội dung từng bài học sgk Toán 12 Tập 2 sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 12.

Lý thuyết Toán 12 Kết nối tri thức Học kì 2

Lý thuyết Nguyên hàm - Kết nối tri thức

Lý thuyết Nguyên hàm

1. Nguyên hàm của một hàm số

• Khái niệm nguyên hàm

Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K.

Chú ý. Trường hợp K = [a; b] thì các đẳng thức F'(a) = f(a) và F'(b) = f(b) được hiểu là đạo hàm bên phải tại điểm x = a và đạo hàm bên trái tại điểm x = b của hàm số F(x), tức là $\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{F\left(x\right)-F\left(a\right)}{x-a}=f\left(a\right)$ và $\underset{x\to b^{-}}{\lim }\frac{F\left(x\right)-F\left(b\right)}{x-b}=f\left(b\right)$.

Ví dụ 1. Cho hàm số f(x) = x³ – 3x². Trong các hàm số cho dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên ℝ?

$F\left(x\right)=\frac{x^4}{4}-x^3$; $G\left(x\right)=\frac{x^4}{4}+x^3$.

Hướng dẫn giải

Ta có: F'(x) = x³ – 3x², G'(x) = x³ + 3x².

Vì F'(x) = f(x) với mọi x $\in$ ℝ nên hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên ℝ.

Hàm số G(x) không là nguyên hàm của f(x) trên ℝ vì với x = 1, ta có G'(1) = 4 ≠ −2 = f(1).

• Họ nguyên hàm của một hàm số

Giả sử hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Khi đó:

a) Với mỗi hằng số C, hàm số F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K;

b) Nếu hàm số G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x $\in$ K.

Như vậy, nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C (C là hằng số). Ta gọi F(x) + C (C $\in$ ℝ) là họ các nguyên hàm của f(x) trên K, kí hiệu bởi $\int f\left(x\right)dx$.

Chú ý

a) Để tìm họ các nguyên hàm (gọi tắt là tìm nguyên hàm) của hàm số f(x) trên K, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) trên K và khi đó C là hằng số.

b) Người ta chứng minh được rằng, nếu hàm số f(x) liên tục trên khoảng K thì f(x) có nguyên hàm trên khoảng đó.

c) Biểu thức f(x)dx gọi là vi phân của nguyên hàm F(x), kí hiệu dF(x). Vậy dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx.

d) Khi tìm nguyên hàm của một hàm số mà không chỉ rõ tập K, ta hiểu là tìm nguyên hàm của hàm số đó trên tập xác định của nó.

Ví dụ 2. Tìm một nguyên hàm của hàm số f(x) = 5x⁴ trên ℝ. Từ đó hãy tìm $\int 5x^{4}dx$ .

Hướng dẫn giải

Vì (x⁵)' = 5x⁴ nên F(x) = x⁵ là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên ℝ.

Do đó $\int 5x^{4}dx=x^5+C$.

2. Tính chất cơ bản của nguyên hàm

• Nguyên hàm của tích một hàm số với một hằng số khác 0

$\int kf\left(x\right)dx=k\int f\left(x\right)dx\left(k\ne 0\right)$.

Ví dụ 3. Hãy tìm $\int \frac{1}{2}{x}^{3}dx$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $\int \frac{1}{2}{x}^{3}dx=\frac{1}{2}\int x^{3}dx=\frac{1}{2}.\frac{x^4}{4}+C=\frac{x^4}{8}+C$ .

• Nguyên hàm của một tổng

$\int \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx$.

$\int \left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx-\int g\left(x\right)dx$.

Ví dụ 4. Hãy tìm:

a) $\int \left(x-x^2\right)dx$;                                   b) $\int \left(5x^4+3x^2\right)dx$ .

Hướng dẫn giải

a) $\int \left(x-x^2\right)dx$ $=\int xdx-\int x^{2}dx$ $=\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+C$.

b) $\int \left(5x^4+3x^2\right)dx$$=5\int x^{4}dx+3\int x^{2}dx$$=5.\frac{x^5}{5}+3.\frac{x^3}{3}+C$$=x^5+x^3+C$ .

3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

• Nguyên hàm của hàm số lũy thừa

+) Hàm số lũy thừa

Hàm số y = x^α, với α ∈ ℝ, được gọi là hàm số lũy thừa.

Tập xác định của hàm số lũy thừa y = x^α tùy thuộc vào giá trị của α. Cụ thể:

- Với α nguyên dương, tập xác định là ℝ.

- Với α nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là ℝ\{0}.

- Với α không nguyên, tập xác định là (0; +∞).

+) Hàm số lũy thừa y = x^α (α $\in$ ℝ) có đạo hàm với mọi x > 0 và ${\left(x^{\alpha }\right)}^{\text{'}}=\alpha x^{\alpha -1}$.

+) Nguyên hàm của hàm số lũy thừa

$\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C\left(\alpha \ne -1\right)$.

$\int \frac{1}{x}dx=\ln \left|x\right|+C$.

Ví dụ 5. Hãy tìm:

a) $\int \left(\sqrt{x}-x^2\right)dx$;                                b) $\int \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)dx$ .

Hướng dẫn giải

a) $\int \left(\sqrt{x}-x^2\right)dx$$=\int \sqrt{x}dx-\int x^{2}dx$$=\int x^{\frac{1}{2}}dx-\int x^{2}dx$

$=\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}-\frac{x^3}{3}+C$ .

b) $\int \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)dx$$=\int \frac{1}{x}dx-\int \frac{1}{x^2}dx$$=\int \frac{1}{x}dx-\int x^{-2}dx$

$=\ln \left|x\right|+\frac{1}{x}+C$.

• Nguyên hàm của hàm số lượng giác

$\int \cos xdx=\sin x+C$;

$\int \sin xdx=-\cos x+C$;

$\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\tan x+C$;

$\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=-\cot x+C$.

Ví dụ 6. Hãy tìm:

a) $\int \left(2\cos x+\frac{1}{{\sin }^{2}x}\right)dx$;         

         

b) $\int \left(\sqrt{2}\sin x+\frac{2}{{\cos }^{2}x}\right)dx$ .

Hướng dẫn giải

a) $\int \left(2\cos x+\frac{1}{{\sin }^{2}x}\right)dx$$=\int 2\cos xdx+\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx$

$=2\sin x-\cot x+C$.

b) $\int \left(\sqrt{2}\sin x+\frac{2}{{\cos }^{2}x}\right)dx$$=\sqrt{2}\int \sin xdx+2\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx$

$=-\sqrt{2}\cos x+2\tan x+C$.

• Nguyên hàm của hàm số mũ

$\int e^{x}dx=e^x+C$.

$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C\left(0<a\ne 1\right)$.

Ví dụ 7. Hãy tìm:

a) $\int \left(e^x-2^x\right)dx$;                                  b) $\int \left(x+\frac{1}{2^x}\right)dx$ .

Hướng dẫn giải

a) $\int \left(e^x-2^x\right)dx$$=\int e^{x}dx-\int 2^{x}dx$$=e^x-\frac{2^x}{\ln 2}+C$ .

b) $\int \left(x+\frac{1}{2^x}\right)dx$$=\int xdx+\int {\left(\frac{1}{2}\right)}^{x}dx$$=\frac{x^2}{2}+{\frac{\left(\frac{1}{2}\right)}{\ln \frac{1}{2}}}^x+C$

$=\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2^x\ln 2}+C$ .

................................

................................

................................