Giải Toán 12 trang 57 Tập 1 Kết nối tri thức

❮ Bài trước Bài sau ❯

Với Giải Toán 12 trang 57 Tập 1 trong Bài 6: Vectơ trong không gian Toán 12 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 57.

Giải Toán 12 trang 57 Tập 1 Kết nối tri thức

Luyện tập 10 trang 57 Toán 12 Tập 1: Trong Ví dụ 10, cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng a (H.2.26). Hãy tính các tích vô hướng $\vec{A S} \cdot \vec{B D}$ và $\vec{A S} \cdot \vec{C D}$ .

Luyện tập 10 trang 57 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Vì ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của AC và BD.

Gọi E là trung điểm của SC. Suy ra OE là đường trung bình của tam giác SAC.

Suy ra $O E = \frac{S A}{2} = \frac{a}{2}$ và OE // SA.

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên $B D = a \sqrt{2}$ mà O là trung điểm của BD nên $O B = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Vì DSBC đều cạnh a nên BE là đường cao. Suy ra $B E = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Vì $O E^{2} + O B^{2} = {(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2} = \frac{3 a^{2}}{4} = B E^{2}$ .

Do đó DBOE vuông tại O. Do đó $\vec{O E} ⊥ \vec{O B}$ .

Vì OE // SA và $O E = \frac{1}{2} S A$ nên $\vec{A S} = 2 \vec{O E}$ .

Vì O là trung điểm của BD nên $\vec{B D} = - 2 \vec{O B}$ .

Khi đó $\vec{A S} \cdot \vec{B D} = 2 \vec{O E} . (- 2 \vec{O B}) = 0$ .

Vì ABCD là hình vuông nên $\vec{C D} = \vec{B A}$ .

Do đó $\vec{A S} \cdot \vec{C D}$ $= \vec{A S} \cdot \vec{B A} = - \vec{A S} \cdot \vec{A B} = - |\vec{A S}| \cdot |\vec{A B}| \cdot \cos \hat{S A B}$ .

Vì DSAB đều nên $\hat{S A B} = 60 °$ .

Do đó $\vec{A S} \cdot \vec{C D} = - a \cdot a \cdot \cos 60 ° = - \frac{a^{2}}{2}$ .

Luyện tập 11 trang 57 Toán 12 Tập 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng $\vec{A^{'} C} \cdot \vec{B^{'} D^{'}} = 0$

Lời giải:

Luyện tập 11 trang 57 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1

Có $\vec{A^{'} C} \cdot \vec{B^{'} D^{'}} = (\vec{A^{'} C^{'}} + \vec{C^{'} C}) \cdot \vec{B^{'} D^{'}} = \vec{A^{'} C^{'}} \cdot \vec{B^{'} D^{'}} + \vec{C^{'} C} \cdot \vec{B^{'} D^{'}}$ .

Vì A'B'C'D' là hình vuông nên A'C' $⊥$ B'D' .

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên $C C^{'} ⊥ (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}) \Rightarrow C C^{'} ⊥ B^{'} D^{'}$ $\Rightarrow \vec{C^{'} C} \cdot \vec{B^{'} D^{'}} = 0$ .

Do đó $\vec{A^{'} C} \cdot \vec{B^{'} D^{'}} = \vec{A^{'} C^{'}} \cdot \vec{B^{'} D^{'}} + \vec{C^{'} C} \cdot \vec{B^{'} D^{'}} = 0$ .

Vậy $\vec{A^{'} C} \cdot \vec{B^{'} D^{'}} = 0$ .

Vận dụng 4 trang 57 Toán 12 Tập 1: Như đã biết, nếu có một lực tác động vào một vật tại điểm M và làm cho vật đó di chuyển một quãng đường MN thì công A sinh ra được tính theo công thức $A = \vec{F} . \vec{M N}$ , trong đó lực F có độ lớn tính bằng Newton, quãng đường MN tính bằng mét và công A tính bằng Jun (H.2.28). Do đó, nếu dùng một lực $\vec{F}$ có độ lớn không đổi để làm một vật di chuyển một quãng đường không đổi thì công sinh ra sẽ lớn nhất khi lực tác động cùng hướng với chuyển động của vật. Hãy giải thích vì sao.

Kết quả trên có thể được áp dụng như thế nào khi kéo (hoặc đẩy) các vật nặng?

Vận dụng 4 trang 57 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1

Lời giải:

Ta có $A = \vec{F} . \vec{M N}$ $= |\vec{F}| . |\vec{M N}| . \cos (\vec{F}, \vec{M N})$

Vì $|\vec{F}|, |\vec{M N}|$ không đổi nên A lớn nhất khi $\cos (\vec{F}, \vec{M N}) = 1$ .

Tức là $(\vec{F}, \vec{M N}) = 0 °$ .

Do đó lực tác động cùng hướng với chuyển động của vật.

Do đó khi kéo (hoặc đẩy) các vật nặng ta nên kéo (hoặc đẩy) theo hướng song song với hướng chuyển động mong muốn của vật.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 6: Vectơ trong không gian hay khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯