Giải Toán 12 trang 59 Tập 1 Kết nối tri thức

❮ Bài trước Bài sau ❯

Với Giải Toán 12 trang 59 Tập 1 trong Bài 6: Vectơ trong không gian Toán 12 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 59.

Giải Toán 12 trang 59 Tập 1 Kết nối tri thức

Bài 2.9 trang 59 Toán 12 Tập 1: Ba sợi dây không giãn với khối lượng không đáng kể được buộc chung một đầu và được kéo căng về ba hướng khác nhau (H.2.31). Nếu các lực kéo làm cho ba sợi dây ở trạng thái đứng yên thì khi đó ba sợi dây nằm trên cùng một mặt phẳng. Hãy giải thích vì sao.

Bài 2.9 trang 59 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1

Lời giải:

Giả sử lực kéo trên mỗi sợi dây được biểu diễn bởi các vectơ $\vec{O A}, \vec{O B}, \vec{O C}$ với là đầu chung của ba sợi dây. Khi ba sợi dậy cân bằng thì $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ .

Vẽ hình bình hành OADB.

Theo quy tắc hình bình hành thì $\vec{O A} + \vec{O B} = \vec{O D}$ .

Do đó $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ $\Leftrightarrow \vec{O D} + \vec{O C} = \vec{0}$ $\Leftrightarrow \vec{O C} = - \vec{O D}$ .

Hay O là trung điểm của CD.

Do đó các điểm O, A, B, C cùng thuộc mặt phẳng (ABCD).

Suy ra ba sợi dây cùng nằm trong mặt phẳng đó.

Bài 2.10 trang 59 Toán 12 Tập 1: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có độ dài mỗi cạnh đáy bằng 1 và độ dài mỗi cạnh bên bằng 2. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau đây và tính tích vô hướng của mỗi cặp vectơ đó:

a) $\vec{A A^{'}}$ và $\vec{C^{'} C}$ ; b) $\vec{A A^{'}}$ và $\vec{B C}$ ; c) $\vec{A C}$ và $\vec{B^{'} A^{'}}$ .

Lời giải:

Bài 2.10 trang 59 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1

Bài 2.11 trang 59 Toán 12 Tập 1: Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng có độ dài bằng 1. Biết rằng góc giữa hai vectơ đó là 45°, hãy tính:

a) $\vec{a} . \vec{b}$ ; b) $(\vec{a} + 3 \vec{b}) . (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ; c) ${(\vec{a} + \vec{b})}^{2}$ .

Lời giải:

a) $\vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}| . \cos (\vec{a}, \vec{b}) = 1.1. \cos 45 ° = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

b) $(\vec{a} + 3 \vec{b}) . (\vec{a} - 2 \vec{b})$ $= {\vec{a}}^{2} + \vec{a} . \vec{b} - 6 {\vec{b}}^{2}$ $= 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} - 6.1 = - 5 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

c) ${(\vec{a} + \vec{b})}^{2} = {\vec{a}}^{2} + 2 \vec{a} . \vec{b} + {\vec{b}}^{2} = 1 + 2. \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 = 2 + \sqrt{2}$ .

Bài 2.12 trang 59 Toán 12 Tập 1: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng

a) $\vec{A B} . \vec{C D} = \vec{A C} . \vec{C D} + \vec{B C} . \vec{D C}$ ;

b) $\vec{A B} . \vec{C D} + \vec{A C} . \vec{D B} + \vec{A D} . \vec{B C} = 0$ .

Lời giải:

Bài 2.12 trang 59 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1

a) Có $\vec{A B} . \vec{C D} = (\vec{A C} + \vec{C B}) . \vec{C D} = \vec{A C} . \vec{C D} + \vec{C B} . \vec{C D} = \vec{A C} . \vec{C D} + \vec{B C} . \vec{D C}$ .

b) $\vec{A B} . \vec{C D} + \vec{A C} . \vec{D B} + \vec{A D} . \vec{B C}$

= \vec{A C} . \vec{C D} + \vec{B C} . \vec{D C} + \vec{A C} . \vec{D B} + \vec{A D} . \vec{B C}

$= (\vec{A C} . \vec{C D} + \vec{A C} . \vec{D B}) + (\vec{B C} . \vec{D C} + \vec{A D} . \vec{B C})$

$= \vec{A C} . (\vec{C D} + \vec{D B}) + \vec{B C} . (\vec{D C} + \vec{A D})$

$= \vec{A C} . \vec{C B} + \vec{B C} . (\vec{D C} - \vec{D A})$

$= \vec{A C} . \vec{C B} + \vec{B C} . \vec{A C}$ $= \vec{A C} . (\vec{C B} + \vec{B C}) = 0$ .

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 6: Vectơ trong không gian hay khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯