Tóm tắt lý thuyết Toán lớp 6 Chương 5: Phân số và số thập phân | Lý thuyết Toán lớp 6 chi tiết Cánh diều
Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 6 Chương 5: Phân số và số thập phân hay nhất, chi tiết sách Cánh diều sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán lớp 6.
Toán lớp 6 Chương 5: Phân số và số thập phân - Lý thuyết chi tiết
Lý thuyết Toán 6 Bài 1: Phân số với tử và mẫu là số nguyên
A. Lý thuyết
1. Khái niệm phân số
Kết quả của phép chia số nguyên a cho số nguyên b khác 0 có thể viết dưới dạngab.
Ta gọi ab. là phân số.
Phân số ab. đọc là: a phần b, a là tử số (còn gọi tắt là tử), b là mẫu số (còn gọi tắt là mẫu).
Ví dụ 1. Kết quả của phép chia 5 cho 12 có thể viết dưới dạng 512.
Ta gọi 512. là phân số và đọc là năm phần mười hai; trong đó 5 là tử số, 12 là mẫu số.
Chú ý: Mọi số nguyên a có thể viết dưới dạng phân số là a1.
Ví dụ 2. Số ‒2 có thể viết dưới dạng phân số là −21.
Số 30 có thể viết dưới dạng phân số là 301.
2. Phân số bằng nhau
Khái niệm hai phân số bằng nhau: Hai phân số được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng biểu diễn một giá trị.
Quy tắc bằng nhau của hai phân số:
Xét hai phân số ab và cd.
Nếu ab=cd thì a.d = b.c. Ngược lại, nếu a.d = b.c thì ab=cd.
Ví dụ 3. Hai phân số trong mỗi trường hợp sau có bằng nhau không?
a) −13 và −39;
b) −4−10 và −615.
Hướng dẫn giải
a) −13 và −39
Ta so sánh hai tích (‒1).9 và 3.(‒3)
(‒1).9 = ‒9 và 3.(‒3) = ‒9
Do đó (‒1).9 = 3.(‒3).
Suy ra −13=−39.
Vậy −13=−39.
b) −4−10và −615
Ta so sánh hai tích (‒4).15 và (‒10).(‒6)
(‒4).15 = ‒60 và (‒10).(‒6) = 60
Do đó (‒1).9 ≠ 3.(‒3).
Vậy hai phân số −4−10 và −615 không bằng nhau.
Suy ra −13=−39.
Vậy −13=−39.
Chú ý: Với a, b là hai số nguyên và b ≠ 0, ta luôn có: a−b=−ab và −a−b=ab.
Ví dụ 4. 3−2=−32;−4−10=410.
3. Tính chất cơ bản của phân số
a) Tính chất cơ bản
- Nếu ta nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số nguyên khác 0 thì ta được một phân số bằng phân số đã cho.
ab=a.mb.m với m∈ℤ, m ≠ 0.
- Nếu ta chia cả tử và mẫu của một phân số cho cùng một ước chung của chúng thì ta được một phân số bằng phân số đã cho.
ab=a:nb:n với m ∈ ƯC(a, b).
Ví dụ 5.
a) 12=1.22.2=24;12=1.(−3)2.(−3)=−3−6;
b) −612=(−6):312:3=−24;6−12=6:(−6)(−12):(−6)=−12.
Chú ý: Mỗi phân số đều đưa được về một phân số bằng nó và có mẫu là số dương.
Ví dụ 6. 6−12=−612=(−6):612:6=−12; a−b=−ab (với a∈ℤ,b∈ℕ*).
b) Rút gọn về phân số tối giản
Dựa vào tính chất cơ bản của phân số, để rút gọn phân số với tử và mẫu là số nguyên về phân số tối giản ta thường làm như sau:
Bước 1: Tìm ƯCLN của tử và mẫu sau khi đã bỏ dấu “– “ (nếu có)
Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho ước chung lớn nhất (ƯCLN) vừa tìm được, ta có phân số tối giản cần tìm.
Ví dụ 7. Rút gọn mỗi phân số sau về phân số tối giản có mẫu số là số dương.
a) −1227;
b) 36−42.
Hướng dẫn giải
a) −1227
Ta có ƯCLN(12, 27) = 3. Do đó −1227=(−12):327:3=−49.
b) 36−42.
Ta có ƯCLN(36, 42) = 6. Do đó 36−42=36:6(−42):6=6−7=−67.
c) Quy đồng mẫu nhiều phân số
Để quy đồng nhiều phân số, ta thường làm như sau:
Bước 1: Viết các phân số đã cho dưới dạng phân số có mẫu dương. Tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN) của các mẫu dương đó để làm mẫu số chung.
Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu, bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu.
Bước 3: Nhân tử và mẫu của mỗi phân số ở Bước 1 với thừa số phụ tương ứng.
Ví dụ 8. Quy đồng mẫu những phân số sau:
a) −56 và 35;
b) −5−12; −16 và `5−18 .
Hướng dẫn giải
a) −56 và 35;
BCNN(6, 5) = 30.
Ta có: 30 : 6 = 5 và 30 : 5 = 6.
Vậy −56=(−5).56.5=−2530 và 35=3.65.6=1830.
b) −5−12; −16 và 5−18.
Ta có −5−12=512 và 5−18=−518.
BCNN(6, 12, 18) = 36.
Mà 36 : 6 = 6; 36 : 12 = 3 và 36 : 18 = 2.
Vậy −16=(−1).66.6=−636;−5−12=512=5.312.3=1536 và 5−18=−518=(−5).218.2=−1036.
B. Bài tập tự luyện
Bài 1. Viết và đọc phân số sau đó rút gọn về phân số tối giản trong mỗi trường hợp sau:
a) Tử số là 12 và mẫu số là ‒2;
b) Tử số là ‒202 và mẫu số là ‒303.
Hướng dẫn giải:
a) Phân số có tử số là 12 và mẫu số là ‒2 viết là: 12−2; đọc là mười hai phần âm hai.
Rút gọn phân số: Ta có 12−2=−122
ƯCLN(12, 2) = 2.
Do đó 12−2=−122=(−12):22:2=−61=−6.
b) Phân số có tử số là ‒202 và mẫu số là ‒303 viết là: −202−303; đọc là âm hai trăm linh hai phần âm ba trăm linh ba.
Rút gọn phân số: Ta có −202−303=202303.
ƯCLN(202, 303) = 101.
Do đó −202−303=202303=202:101303:101=23.
Bài 2. Các cặp phân số trong mỗi trường hợp sau có bằng nhau không? Nếu không bằng nhau hãy quy đồng hai phân số đó:
a) −67 và −76;
b) −14 và 11−44.
Hướng dẫn giải:
a) −67 và −76;
Ta có:(‒6).6 = ‒36 và (‒7).7 = ‒49
Nên (‒6).6 ≠ (‒7).7
Do đó hai phân số −67 và −76 không bằng nhau.
Quy đồng mẫu số hai phân số: −67 và −76
BCNN(7, 6) = 42
Lại có 42: 7 = 6 và 42 : 6 = 7
Do đó: −67=(−6).67.6=−3642 và −76=(−7).76.7=−4942.
Vậy −67=−3642 và −76=−4942.
b) Ta có 11−44=11:(−11)(−44):(−11)=−14.
Do đó −14=11−44.
Lý thuyết Toán 6 Bài 2: So sánh các phân số. Hỗn số dương
A. Lý thuyết
1. So sánh các phân số
a) So sánh hai phân số
Trong hai phân số khác nhau luôn có một phân số nhỏ hơn phân số kia.
- Nếu phân số ab nhỏ hơn phân số cd thì ta viết ab<cd hay cd>ab.
- Phân số lớn hơn 0 gọi là phân số dương.
- Phân số nhỏ hơn 0 gọi là phân số âm.
- Nếu ab<cd và cd<eg thì ab<eg.
b) Cách so sánh hai phân số
* So sánh hai phân số cùng mẫu
Trong hai phân số có cùng một mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn.
Ví dụ 1. So sánh hai phân số 13 và 23.
Hướng dẫn giải
Ta thấy hai phân số trên cùng mẫu số là 3, tử số của hai phân số là 1 < 2
Nên 13<23 hay 23>13.
Chú ý: Với hai phân số có cùng một mẫu nguyên âm, ta đưa chúng về hai phân số có cùng mẫu nguyên dương rồi so sánh.
Ví dụ 2. So sánh hai phân số 1−3 và −2−3
Hướng dẫn giải
Ta có: 1−3=−13 và −2−3=23
Hai phân số có cùng mẫu số là 3, tử số của hai phân số là ‒1 < 2 nên −13<23.
Do đó 1−3<−2−3.
*So sánh hai phân số không cùng mẫu
Để so sánh hai phân số không cùng mẫu, ta quy đồng mẫu hai phân số đó (về cùng một mẫu dương) rồi so sánh các tử với nhau. Phân số nào có tử lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
Bước 1: Quy đồng mẫu hai phân số đã cho (về cùng một mẫu dương)
Bước 2: So sánh tử của các phân số: Phân số nào có tử lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
Ví dụ 3. So sánh hai phân số −38 và 5−7.
Hướng dẫn giải
Ta có 5−7=−57=(−5).87.8=−4056 và −38=(−3).78.7=−2156
Do ‒40 < ‒21 nên −4056<−2156.
Vậy 5−7<−38.
2. Hỗn số dương
Viết một phân số lớn hơn 1 thành tổng của một số nguyên dương và một phân số nhỏ hơn 1 (với tử và mẫu dương) rồi viết chúng liền nhau thì được 1 hỗn số dương.
Ví dụ 4.
a) Phân số 133=4.3+13=4.33+13=4+13=413.
Do đó phân số 133 còn được viết dưới dạng hỗn số là 413.
b) Hỗn số 234=2+34=2.44+34=8+34=114.
Do đó hỗn số 234 viết dưới dạng phân số là 114.
B. Bài tập tự luyện
Bài 1. So sánh các phân số sau:
a) 2−5 và −35;
b) 13 và 56;
c) 5−7 và −711;
d) 56 và 63−70.
Hướng dấn giải
a) 2−5 và −35
Ta có: 2−5=−25
Do ‒2 > ‒3 nên −25>−35.
Vậy 2−5>−35;
b) 13 và 56
Ta có 13=1.23.2=26
Vì 2 < 5 nên 26<56
Vậy 13<56.
c) 5−7 và −711
Ta có: 5−7=−57=(−5).117.11=−5577 và −711=−711=(−7).711.7=−4977
Vì 55 > 49 nên –55 < –49 do đó −5577<−4977.
Vậy 5−7<−711.
d) 56 và 63−70
Ta có: 56>0 và 63−70<0
Do đó 56>0>63−70
Vậy 56>63−70.
Bài 2. Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần: −29;34;−112;56;−58;112.
Hướng dấn giải
Ta chia các số −29;34;−112;56;−58;112. thành hai nhóm:
Nhóm 1: gồm các số 34;56;112.
Nhóm 2: gồm các số −29;−112;−58.
Ta đi so sánh nhóm 1: 34;56;112.
Có 34=3.34.3=912; 56=5.26.2=1012 và 112=1+12=22+12=32=3.62.6=1812.
Do 9 < 10 < 18 nên 912<1012<1812
Vậy 34<56<112.
Ta đi so sánh nhóm 2: −29;−112;−58.
Vì 29<59<58 nên −29>−58
Vì 29>212>112 nên −29<−112
Do đó −58<−29<−112
Trong tất cả các phân số thì phân số âm luôn nhỏ hơn phân số dương, do đó ta có:
−58<−29<−112<34<56<112.
Vậy ta có thể sắp xếp theo thứ tự tăng dần là −58;−29;−112;34;56;112.
....................................
....................................
....................................
