Cho hình thang ABCD (AB // CD). Kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại C và đường thẳng vuông
Câu hỏi:
Cho hình thang ABCD (AB // CD). Kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại C và đường thẳng vuông góc với BD tại D, hai đường thẳng này cắt nhau tại E. Chứng minh rằng nếu EC = ED thì hình thang ABCD là hình thang cân.
Trả lời:
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Xét ∆DOE và ∆COE có:
^ODE=^OCE=90° (vì OD ⊥ DE; OC ⊥ CE)
EC = ED (giả thiết)
Cạnh OE chung
Do đó ∆DOE = ∆COE (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra OC = OD (hai cạnh tương ứng).
Do đó tam giác OCD cân tại O nên ˆC1=ˆD1.
Vì ABCD là hình thang nên AB // CD suy ra ˆA1=ˆC1; ˆB1=ˆD1 (cặp góc so le trong).
Do đó ˆA1= ˆB1 (vì ˆC1=ˆD1).
Suy ra tam giác OAB cân tại O nên OA = OB.
Xét ∆OAD và ∆OBC có:
OA = OB (chứng minh trên)
^AOD=^BOC (hai góc đối đỉnh)
OC = OD (chứng minh trên)
Do đó ∆OAD = ∆OBC (c.g.c)
Suy ra ˆC2=ˆD2 (hai góc tương ứng).
Ta có ^ADC=ˆD1+ˆD2; ^BCD=ˆC1+ˆC2.
Mà ˆC1=ˆD1 ;ˆC2=ˆD2 nên ^ADC=^BCD.
Hình thang ABCD có ^ADC=^BCD nên ABCD là hình thang cân.
