15 Bài tập Tổng và hiệu hai lập phương (có đáp án) - Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 8

Đáp án đúng là: D

Hằng đẳng thức tổng hai lập phương: ${\text{A}}^{\text{3}}{\text{+ B}}^{\text{3}}\text{ = }$$(A + B)(A^{\text{2}}-{\text{AB + B}}^{\text{2}}\text{)}$ nên A đúng;

Hằng đẳng thức hiệu hai lập phương: ${\text{A}}^{\text{3}}-{\text{B}}^{\text{3}}\text{ = }$${\text{(A − B)(A}}^2+ \mathrm{AB} + B^2)$ nên B đúng;

$\text{A + B = B + A}\Rightarrow {\text{(A + B)}}^{\text{3}}{\text{= (B + A)}}^{\text{3}}$ nên C đúng;

$\text{A}-\text{B}\ne \text{B}-\text{A}\Rightarrow {(\text{A}-\text{B})}^3\ne {(\text{B}-\text{A})}^3$ nên D sai.

Đáp án đúng là: C

Ta có:

$\left(x-3y\right)\left(x^2+3xy+9y^2\right)$

$=\left(x-3y\right)\left[x^2+x.3y+{\left(3y\right)}^2\right]$

$=x^3-{\left(3y\right)}^3$

Đáp án đúng là: B

Ta có: $x^3+512=\left(x+8\right)\left(x^2-8x+64\right)$

$\Rightarrow \left[......\right]=8x$

Đáp án đúng là: B

Ta có:

${\text{A = x}}^{\text{3}}\text{+ 8}-\text{(x + 2)}\left({\text{x}}^{\text{2}}-\text{2xy + 4}\right)$

$=x^3+12-\left(x^3+8\right)$

$=x^3+12-x^3-8$

= 4

$A=4⋮2$ nên A không phải số nguyên tố.

A = 4 không chia hết cho 3.

A = 4 không chia hết cho 5.

A = 4 = 2² nên A là một số chính phương.

Đáp án đúng là: B

$125+\left(x-5\right)\left(x^3+5x+25\right)$

$=125+x^3-125$

$=x^3$

Thay x = − 5 vào biểu thức, ta có: ${(-5)}^3=-125$

Đáp án đúng là: D

$8+{\left(4x-3\right)}^3=2^3+{\left(4x-3\right)}^3$

$=\left(2+4x-3\right)\left[2^2-2.\left(4x-3\right)+{\left(4x-3\right)}^2\right]$

$=\left(4x-1\right)\left(4-8x+6+16x^2-24x+9\right)$

$=\left(4x-1\right)\left(16x^2-32x+19\right)$

Đáp án đúng là: A

${\left(x+y\right)}^3-{\left(x-2y\right)}^3$

$\text{=}\left(x+y-x+2y\right)\left[{\left(x+y\right)}^2+\left(x+y\right)\left(x-2y\right)+{\left(x-2y\right)}^2\right]$

$=3y\left(x^2+2xy+y^2+x^2+xy-2xy-2y^2+x^2-4xy+4y^2\right)$

$=3y\left(3x^2-3xy+3y^2\right)$

$=9x^{2}y-9x{y}^2+9y^3$

Đáp án đúng là: B

$\left(x+3\right)\left(x^2-3x+9\right)-x\left(x^2-3\right)=21$

$\iff x^3+27-x^3+3x=21$

$\iff 3x+27=21$

$\iff 3x=21-27$

$\iff 3x=-6$

$\iff x=-2$

Đáp án đúng là: D

$a^6-b^6=\left(a^2-b^2\right)\left(a^4+a^2{b}^2+b^4\right)$

$=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\left(a^4{\text{+ a}}^{\text{2}}{\text{b}}^{\text{2}}+{\text{b}}^{\text{4}}\right)$

Đáp án đúng là: C

Ta có:

$A=x^3+3xy+y^3$

$=x^3+y^3+3xy$

$=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+3xy$

$=\left(x+y\right)\left(x^2+2xy+y^2-3xy\right)+3xy$

$=\left(x+y\right)\left[{\left(x+y\right)}^2-3\mathrm{xy}\right]+3\mathrm{xy}$

Thay x + y = 1 vào biểu thức A ta được:

$A=\left(x+y\right)\left[{\left(x+y\right)}^2-3\mathrm{xy}\right]+3\mathrm{xy}$

$=1.\left(1^2-3xy\right)+3xy$

$=1-3xy+3xy$

= 1

Đáp án cần chọn là: C

$\text{A}=1^3+3^3+5^3+7^3+9^3+{11}^3$

$=\left(1^3+{11}^3\right)+\left(3^3+9^3\right)+\left(5^3+7^3\right)$

$=\left(1+11\right)\left(1^2-11+{11}^2\right)+\left(3+9\right)\left(3^2-3.9+9^2\right)$ $+\left(5+7\right)\left(5^2-5.7+7^2\right)$

$=12\left(1^2-11+{11}^2\right)+12\left(3^2-3.9+9^2\right)+12\left(5^2-5.7+7^2\right)$

Vì mỗi số hạng trong tổng đều chia hết cho 12 nên $\text{A}⋮12$

$\text{A}=1^3+3^3+5^3+7^3+9^3+{11}^3$

$=\left(1^3+9^3\right)+\left(3^3+7^3\right)+5^3+{11}^3$

$=\left(1+9\right)\left(1^2-9+9^2\right)+\left(3+7\right)\left(3^2-3.7+7^2\right)+5^3+{11}^3$

$=10\left(1^2-9+9^2\right)+10\left(3^2-3.7+7^2\right)+5^3+{11}^3$

Ta có:

$\Rightarrow 10(1^2-9+9^2)⋮5;10(3^2-3.7+7^2)⋮5;5^3⋮5$

Mà 11³ không chia hết cho 5 nên A không chia hết cho 5.

Đáp án đúng là: C

Ta có

${\left(\text{x}-\text{y}\right)}^3+\left(\text{x}-\text{y}\right)\left({\text{x}}^2+\text{xy}+{\text{y}}^2\right)+3\left({\text{x}}^2\text{y}-{\text{xy}}^2\right)$

$=x^3-3x^{2}y+3x{y}^2-y^3+x^3-y^3+3x^{2}y-3x{y}^2$

$=2x^3-2y^3$

Đáp án đúng là: C

Ta có:

$\left\{\begin{array}{c}a+b=m\\ a-b=n\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}a=\frac{m+n}{2}\\ b=\frac{m-n}{2}\end{array}\right.$

$\Rightarrow ab=\frac{\left(m+n\right)\left(m-n\right)}{2.2}=\frac{m^2-n^2}{4}$

Biến đổi biểu thức A, ta được:

$A=a^3+b^3$

$=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)$

$=\left(a+b\right)\left[\left(a^2-\mathrm{ab}+b^2\right)+\mathrm{ab}\right]$

$=\left(a+b\right)\left[{\left(a-b\right)}^2+\mathrm{ab}\right]$

Thay a + b = m; a – b = n; $ab=\frac{m^2-n^2}{4}$ vào A ta có:

$\text{A = m}\left({\text{n}}^{\text{2}}\text{+}\frac{{\text{m}}^{\text{2}}-{\text{n}}^{\text{2}}}{\text{4}}\right)$

$\text{=}\frac{{\text{4mn}}^{\text{2}}}{\text{4}}\text{+}\frac{{\text{m}}^{\text{3}}}{\text{4}}-\frac{{\text{mn}}^{\text{2}}}{\text{4}}$

$\text{=}\frac{{\text{3mn}}^{\text{2}}}{\text{4}}\text{+}\frac{{\text{m}}^{\text{3}}}{\text{4}}$

$\text{=}\frac{\text{1}}{\text{4}}\text{m}\left({\text{3n}}^{\text{2}}{\text{+m}}^{\text{2}}\right)$

Đáp án đúng là: B

Ta có:

$x-y=a-b\iff {\left(x-y\right)}^2={\left(a-b\right)}^2$

$\iff x^2-2xy+y^2=a^2-2ab+b^2$

Từ (2) ta có: $x^2+y^2=a^2+b^2\Rightarrow -2xy=-2ab\iff xy=ab$

Mặt khác:

$\left\{\begin{array}{c}{x}^3-y^3=\left(x-y\right)\left(x^2+\mathrm{xy}+y^2\right)\\ a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+\mathrm{ab}+b^2\right)\end{array}\right.$

Vì $x-y=a-b;x^2+y^2=a^2+b^2$ và xy = ab nên $x^3-y^3=a^3-b^3$

Đáp án đúng là: A

$a^3+b^3+c^3-3abc$

$={\left(a+b\right)}^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc$

$={\left(a+b\right)}^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)$

$=\left(a+b+c\right)\left[{\left(a+b\right)}^2-\left(a+b\right)c+c^3\right]-3\mathrm{ab}\left(a+b+c\right)$

$=\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)$

$=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)$

Vì $a+b+c=0\Rightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0$

* Như vậy, với a + b + c = 0, ta có: $a^3+b^3+c^3=3abc$.