Cho hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn (O; r) và (O; R) với R > r. Trên đường

Cho hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn (O; r) và (O; R) với R > r. Trên đường tròn (O; R) lấy hai điểm B, C sao cho BC vừa là dây cung của (O; R), vừa là tiếp tuyến của đường tròn (O; r) tại A (Hình 11).

a) Tính độ dài đoạn thẳng BC theo r và R.

b) Cho $BC=a\sqrt{3}.$ Tính diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn (O; r) và (O; R) theo a.

a) Vì BC là tiếp tuyến của đường tròn (O; r) tại A nên BC ⊥ OA.

Xét ∆OBC có OB = OC nên ∆OBC cân tại O. Do đó đường cao OA đồng thời là đường trung tuyến của tam giác.

Suy ra A là trung điểm của BC nên BC = 2AB.

Xét ∆OAB vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có: OB² = OA² + AB².

Suy ra AB² = OB² – OA² = R² – r².

Do đó $AB=\sqrt{R^2-r^2}.$

Khi đó $BC=2\sqrt{R^2-r^2}.$

b) Theo bài, $BC=a\sqrt{3},$ do đó $2\sqrt{R^2-r^2}=a\sqrt{3}$

Suy ra $\sqrt{R^2-r^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ nên $R^2-r^2={\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{3a^2}{4}.$

Diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn (O; r) và (O; R) là: $S=\pi \left(R^2–r^2\right)=\pi \cdot \frac{3a^2}{4}=\frac{3\pi }{4}{a}^2.$