Tổng hợp lý thuyết Toán 9 Chương 9 - Chân trời sáng tạo

---

Haylamdo biên soạn tổng hợp lý thuyết Toán 9 Chương 9: Tứ giác nội tiếp. Đa giác đều sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 9 nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 9 Chương 9.

Tổng hợp lý thuyết Toán 9 Chương 9 - Chân trời sáng tạo

Tổng hợp lý thuyết Toán 9 Chương 9

1. Đường tròn ngoại tiếp tam giác

− Đường tròn đi qua ba đỉnh của một tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác, khi đó tam giác được gọi là tam giác nội tiếp đường tròn.

− Đường tròn ngoại tiếp tam giác có tâm là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác và có bán kính bằng khoảng cách từ giao điểm đó đến một đỉnh bất kỳ của tam giác.

− Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh a có tâm là trọng tâm của tam giác và bán kính bằng $\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

− Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm là trung điểm của cạnh huyền và bán kính bằng nửa cạnh huyền.

2. Đường tròn nội tiếp tam giác

− Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, khi đó tam giác được gọi là tam giác ngoại tiếp đường tròn.

− Đường tròn nội tiếp tam giác có tâm là giao điểm của ba đường phân giác trong và bán kính bằng khoảng cách từ giao điểm đó đến một cạnh bất kì của tam giác.

− Đường tròn nội tiếp tam giác đều có cạnh a có tâm là trọng tâm của tam giác và bán kính bằng $\frac{a\sqrt{3}}{6}$.

− Tam giác đều có tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp trùng nhau.

3. Định nghĩa tứ giác nội tiếp

− Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp).

− Đường tròn đi qua bốn đỉnh của tứ giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.

4. Tính chất

Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180°.

5. Đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật, hình vuông

− Hình chữ nhật, hình vuông là các tứ giác nội tiếp.

− Đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật, hình vuông có tâm là giao điểm của hai đường chéo và có bán kính bằng nửa đường chéo.

6. Khái niệm đa giác đều

− Đa giác lồi có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau được gọi là đa giác đều.

Chú ý:

− Đa giác đều có số cạnh bằng n được gọi là n-giác đều.

− Với n lần lượt bằng 3, 4, 5, 6, 8 … ta có tam giác đều, tứ giác đều (hình vuông), ngũ giác đều, lục giác đều, bát giác đều,…

− Khi nói đến đa giác đều mà không chú thích gì thêm, ta hiểu đó là đa giác lồi.

− Người ta chứng minh được, với mỗi đa giác đều có đúng một điểm I cách đều tất cả các đỉnh của đa giác. Điểm I gọi là tâm của đa giác đó.

7. Phép quay

− Phép quay thuận chiều α° (0° < α° < 360°) tâm O giữ nguyên điểm O, biến điểm M khác điểm O thành điểm M' thuộc đường tròn (O; OM) sao cho tia OM quay thuận chiều kim đồng hồ đến tia OM' thì điểm M tạo nên cung MM' có số đo α°.

− Định nghĩa tương tự cho phép quay ngược chiều α° tâm O.

− Phép quay 0° hay 360° giữ nguyên mọi điềm.

Chú ý:

−  Ta coi mỗi phép quay tâm O biến O thành chính nó.

− Nếu một phép quay biến các điểm M trên hình a thành các điểm M' thì các điểm M' tạo thành hình a'. Khi đó, ta nói phép quay biến hình a thành hình a'. Nếu hình a' trùng với hình a thì ta nói phép quay biến hình a thành chính nó.

8. Hình phẳng đều trong thực tế

Tương tự như các đa giác đều, trong tự nhiên, sản xuất, thiết kế, … cũng có các hình phẳng đều.

Bài tập ôn tập Chương 9

Bài 1. Cho tam giác ∆ABC vuông tại A, có AB = 10 cm và AC = $\sqrt{21}$ cm. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là

A. 5 cm.

B. 5,5 cm.

C. 6 cm.

D. 6,5 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét ∆ABC vuông tại A, theo định lý Pythagore ta có:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2={10}^2+{\left(\sqrt{21}\right)}^2=121$.

Suy ra BC = 11 (cm).

Tam giác ABC vuông tại A nên bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng nửa cạnh huyền BC hay $R=\frac{BC}{2}=\frac{11}{2}=5,5$ (cm).

Bài 2. Cho tam giác ABC đều cạnh a ngoại tiếp đường tròn tâm O. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC?

A. $\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

B. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

C. $\frac{a\sqrt{3}}{6}$.

D. $\frac{a\sqrt{2}}{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi M là trung điểm của BC. Ta có $BM=MC=\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}$.

Do tam giác ABC đều nên tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC là trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABM ta có:

$A{M}^2=A{B}^2-B{M}^2=a^2-\frac{a^2}{4}=\frac{3a^2}{4}$, suy ra $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:

$r=OM=\frac{AM}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Bài 3. Số đo của mỗi góc của ngũ giác đều là

A. 100°.

B. 108°.

C. 110°.

D. 120°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Chia ngũ giác đều thành 3 tam giác như hình trên.

Mỗi góc của ngũ giác đều bằng: $\frac{3.180}{5}=108°$.

Bài 4. Ssố cạnh của một đa giác đều, biết mỗi góc của nó bằng 135° là

A. 5.

B. 6.

C. 7.

D. 8.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi n là số cạnh của đa giác đều.

Từ đa giác đều ta chia được n – 2 tam giác.

Số đo mỗi góc của đa giác đều là: $\frac{\left(n-2\right).180°}{n}=135°$ nên $n=8$.

Bài 5. Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) (như hình vẽ).

Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $\widehat{BDC}=\widehat{BAC}$.

B. $\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=180°$.

C. $\widehat{DCB}=\widehat{BAx}$.

D. $\widehat{BCA}=\widehat{BAx}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp nên:

$\widehat{BDC}=\widehat{BAC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC)

$\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=180°$ (tổng hai góc đối bằng $180°$) 

$\widehat{DCB}=\widehat{BAx}$ (góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối với đỉnh đó)

Vậy phương án A, B, C đúng.

Bài 6. Cho tứ giác ABCD nội tiếp. Chọn câu sai:

A. $\widehat{BAD}+\widehat{BCD}=180°$.

B. $\widehat{ABD}=\widehat{ACD}$.

C. $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360°$.

D. $\widehat{ADB}=\widehat{DAC}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp nên:

$\widehat{BAD}+\widehat{BCD}=180°$ (Tổng hai góc đối nhau)

$\widehat{ABD}=\widehat{ACD}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD)

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360°$ (tổng 4 góc trong tứ giác)

Vậy đáp án cần chọn là D.

Bài 7. Cho ∆ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Gọi E, F theo thứ tự là hình chiếu của (O) lên AB và AC. Chứng minh rằng AO là tia phân giác của $\widehat{BAC}$.

Hướng dẫn giải

Ta có ∆ABC cân tại A nên AB = AC hay OE = OF .

Xét hai tam giác vuông AOE và AOF, có:

 Cạnh OA chung

OE = OF (cmt)

Do đó ∆AOE = ∆AOF

Suy ra $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$ (hai góc tương ứng).

Do đó AO là phân giác của $\widehat{BAC}$.

Bài 8. Cho ∆ABC vuông tại A, $\widehat{BAC}=90°$ (AB ≤ AC) . Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D. Chứng minh $BD=\frac{BC+AB-AC}{2}$.

Hướng dẫn giải

Gọi E, F là tiếp điểm của đường tròn (I) với các cạnh AB, AC.

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: AE = AF; BE = BD; CD = CF.

Do đó: 2BD = BD + BE

                    = BC – CD + AB – AE = BC + AB – (CD + AE)

                    = BC + AB – (CF + AF) = BC + AB – AC

Do đó $BD=\frac{BC+AB-AC}{2}$.

Bài 9. Cho tam giác ABC có AB = 6cm; BC= 10 cm và AC = 8cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC?

Hướng dẫn giải

Ta có: AB² + AC² = BC² ( = 100) 

Suy ra tam giác ABC vuông tại A. 

Do đó, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm cạnh huyền BC. 

Đường kính đường tròn là: d = BC = 10 cm.

Suy ra, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R = $\frac{d}{2}$ = 5 (cm).

Vậy R = 5 cm.

Bài 10. Trong hình vẽ dưới đây, cho $\widehat{AOC}=140°$.

a) Tính các góc $\widehat{ABC},\widehat{ADC}$ của tứ giác ABCD.

b) Tính $\widehat{BAD}+\widehat{BCD}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$\widehat{ABC}=\frac{\widehat{AOC}}{2}=\frac{140°}{2}=70°$ (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AC)

$\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=180°$ (tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn)

Do đó $\widehat{ADC}=180°-70°=110°.$

Vậy $\widehat{ADC}=110°$

b) Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nên $\widehat{BAD}+\widehat{BCD}=180°$.

Bài 11. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Tính số đo các góc còn lại của tứ giác đó trong trường hợp sau: $\widehat{A}=45°$ và $\widehat{B}=155°$.

Hướng dẫn giải

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nên $\widehat{A}+\widehat{C}=180°$; $\widehat{B}+\widehat{D}=180°$.

Do đó $\widehat{C}=180°-\widehat{A}=180°-45°=135°$;

           $\widehat{D}=180°-\widehat{B}=180°-155°=25°$.

Vậy $\widehat{C}=135°$ và $\widehat{D}=25°$.

Bài 12. Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn có hai cạnh đối AB và CD cắt nhau tại M và $\widehat{BAD}=70°$. Tính số đo $\widehat{BCM}$.

Hướng dẫn giải

Tứ giác ABCD nội tiếp nên ta có: $\widehat{DAB}+\widehat{BCD}=180°$

Suy ra $\widehat{BCD}=180°-70°=110°$

Mà $\widehat{BCD}+\widehat{BCM}=180°$ (hai góc kề bù) nên $\widehat{BCM}=180°-110°=70°$.

Vậy $\widehat{BCM}=70°$.

Bài 13. Cho tam giác đều ABC, các đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H. Gọi I , K , M theo thứ tự là trung điểm của HA, HB, HC. Chứng minh rằng DKFIEM là lục giác đều.

Hướng dẫn giải

Xét ∆HDC vuông tại D, DM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên DM = HM.

Ta lại có $\widehat{C_1}=30°$ nên $\widehat{H_1}=60°$.

Do đó HDM∆ là tam giác đều.

Tương tự các tam giác HME, HEI, HIF, HFK, HKD là các tam giác đều.

Lục giác DKFIEM có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau (bằng 120° ) nên là lục giác đều.

Bài 14.

a) Tính số đường chéo của đa giác n cạnh.

b) Đa giác nào có số đường chéo bằng số cạnh?

Hướng dẫn giải

a) Từ mỗi đỉnh của hình n – giác lồi, kẻ được n − 1 đoạn thẳng đến các đỉnh còn lại, trong đó có hai đoạn thẳng là cạnh của đa giác, n − 3 đoạn thẳng là đường chéo.

Đa giác có n đỉnh nên kẻ được n(n – 3) đường chéo, trong đó mỗi đường chéo tính 2 lần. Vậy số đường chéo của hình n − giác lồi là $\frac{n\left(n-3\right)}{2}$.

b) Ta có $\frac{n\left(n-3\right)}{2}=n$ nên $n=5$.

Vậy ngũ giác có số đường chéo bằng số cạnh.

Bài 15. Cho hình ngũ giác đều ABCDE tâm O.

a) Phép quay thuận chiều tâm O biến điểm A thành điểm E thì các điểm B, C, D, E tương ứng biến thành các điểm nào?

b) Phép quay ngược chiều tâm O biến điểm A thành điểm C thì các điểm B, C, D, E tương ứng biến thành các điểm nào?

c) Chỉ ra các phép quay tâm O giữ nguyên hình ngũ giác đều.

Hướng dẫn giải

a) Phép quay thuận chiều tâm O biến điểm A thành điểm E thì các điểm B, C, D, E tương ứng biến thành các điểm A, B, C, D.

b) Phép quay ngược chiều tâm O biến điểm A thành điểm C thì các điểm B, C, D, E tương ứng biến thành các điểm D, E, A, B.

c)

Ta có $\widehat{DOC}=\widehat{COB}=\widehat{BOA}=\widehat{AOE}=\widehat{EOD}=\frac{360}{5}=72°$.

Vậy các phép quay giữ nguyên hình ngũ giác đều là phép quay thuận chiều tâm O một góc 72°, 144°, 216°, 288°, 360° và phép quay ngược chiều tâm O một góc 72°, 144°, 216°, 288°, 360°.

Học tốt Toán 9 Chương 9

Các bài học để học tốt Bài tập cuối chương 9 Toán lớp 9 hay khác:

• Giải sgk Toán 9 Bài tập cuối chương 9