Cách tính tích vô hướng của hai vectơ (bài tập + lời giải)

---

Haylamdo sưu tầm bài viết phương pháp giải bài tập tính tích vô hướng của hai vectơ lớp 10 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập tính tích vô hướng của hai vectơ.

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ (bài tập + lời giải)

1. Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa để xác định tích vô hướng của hai vectơ.

- Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều khác $\overrightarrow{0}$. Tích vô hướng của $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là một số, kí hiệu là $\overrightarrow{a}$.$\overrightarrow{b}$, được xác định bởi công thức: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$.

- Chú ý:

+ Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và$\overrightarrow{b}$ bằng $\overrightarrow{0}$ thì ta quy ước: $\overrightarrow{a}$.$\overrightarrow{b}$ = 0

+ Với hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và$\overrightarrow{b}$ , ta có: $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\iff \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0$.

+ Khi $\overrightarrow{a}$ = $\overrightarrow{b}$ thì tích vô hướng $\overrightarrow{a}$.$\overrightarrow{b}$ được kí hiệu là ${\overrightarrow{a}}^2$ và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ $\overrightarrow{a}$.

Ta có: ${\overrightarrow{a}}^2=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{a}\right|.\cos 0°={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2$. Vậy bình phương vô hướng của một vectơ luôn bằng bình phương độ dài của vectơ đó.

- Áp dụng các tính chất của tích vô hướng để phân tích, biến đổi.

Tính chất của tích vô hướng:

Với ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ bất kì và mọi số k, ta có:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}$

$\overrightarrow{a}\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}$

$\left(k\overrightarrow{a}\right).\overrightarrow{b}=k\left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right)=\overrightarrow{a}.\left(k\overrightarrow{b}\right)$

Từ các tính chất trên, ta suy ra:

${\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)}^2={\overrightarrow{a}}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$

${\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)}^2={\overrightarrow{a}}^2-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$

$\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right).\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)={\overrightarrow{a}}^2-{\overrightarrow{b}}^2$

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình chữ nhật ABCD cạnh a. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}$.

Hướng dẫn giải:

Do ABCD là hình chữ nhật nên ta có:

$\widehat{BAD}=90°\iff \overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AD}\iff \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=0$.

Ví dụ 2. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$.

Hướng dẫn giải:

Xét tam giác ABC có:

$\widehat{ABC}=90°$(do ABCD là hình vuông)

AB = BC = a (do ABCD là hình vuông)

Do đó, tam giác ABC vuông cân tại B.

$\Rightarrow \widehat{BAC}=45°$

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông ABC có:

AC² = AB²  + BC² = a ²  + a² = 2a² ⇒ AC = a$\sqrt{2}$

Ta có:

$\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\widehat{BAC}=45°\Rightarrow cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\left|\overrightarrow{AB}\right|=AB=a$

$\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC=a\sqrt{2}$

Ta có:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|.cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=a.a\sqrt{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=a^2$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OD}$.

A. 0;

B. 2a;

C. a²;

D. 2a².

Bài 2. Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}$.

A. a;

B. 0;

C. a²;

D. 2a².

Bài 3. Cho hình chữ nhật ABCD tâm O có: AD = a, AB = 2a. Tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AO}=?$

A. a;

B. 0;

C. a²;

D. 2a².

Bài 4. Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$.

A. a;

B. 0;

C. a²;

D. $\frac{1}{2}{a}^2$.

Bài 5. Cho tam giác ABC đều cạnh a, đường cao AH. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{AC}.$

A. $\frac{3}{2}{a}^2$;

B. 3a²;

C. $\frac{3}{4}{a}^2$;

D. a².

Bài 6. Cho tam giác ABC đều cạnh a, đường cao AH. Tính vô hướng giữa hai vectơ $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{HC}$ bằng

A. $\frac{a^2}{2}$;

B. a²;

C. $\frac{a^2}{4}$;

D. 2a².

Bài 7. Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB = 2a, đáy lớn BC = 3a, đáy nhỏ AD = 2a. Tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DC}$.

A. a²;

B. 4a²;

C. 3a²;

D. 2a².

Bài 8. Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB = 2a, đáy lớn BC = 3a, đáy nhỏ AD = 2a. Tính $\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BC}$.

A. a²;

B. 4a²;

C. 6a²;

D. 2a².

Bài 9. Cho tam giác ABC có: AB = 3, BC = 4, AC = 5. Tính $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$.

A. 1;

B. 0;

C. 12;

D. 20.

Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết BC = a, $\widehat{BCA}=60°$. Tính $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BA}$.

A. a²;

B. $\frac{3}{4}$a²;

C. $\frac{1}{4}$a²;

D. 2a²