Chứng minh đẳng thức về tích vô hướng của vectơ hoặc về độ dài đoạn thẳng (bài tập + lời giải)

---

Haylamdo sưu tầm bài viết phương pháp giải bài tập Chứng minh đẳng thức về tích vô hướng của vectơ hoặc về độ dài đoạn thẳng lớp 10 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Chứng minh đẳng thức về tích vô hướng của vectơ hoặc về độ dài đoạn thẳng.

Chứng minh đẳng thức về tích vô hướng của vectơ hoặc về độ dài đoạn thẳng (bài tập + lời giải)

1. Phương pháp giải

Để chứng minh đẳng thức về tích vô hướng hoặc độ dài, ta thường sử dụng các tính chất của tích vô hướng, các tính chất của vectơ để biến đổi tương đương đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức luôn đúng hoặc biến đổi vế này thành vế kia hoặc biến đổi cả hai vế cùng bằng một biểu thức trung gian.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì.

Chứng minh rằng: $\overrightarrow{DA}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DB}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DC}.\overrightarrow{AB}=0$

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\overrightarrow{DA}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DB}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DC}.\overrightarrow{AB}=0$

$\iff \overrightarrow{DA}.\left(\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DB}\right)+\overrightarrow{DB}.\left(\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DC}\right)+\overrightarrow{DC}.\left(\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DA}\right)=0$ (quy tắc trừ)

$\iff \overrightarrow{DA}.\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DA}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DB}.\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}.\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DC}.\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DC}.\overrightarrow{DA}=0$

$\iff 0=0$ (luôn đúng)

Vậy đẳng thức được chứng minh.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có diện tích bằng S.

Chứng minh rằng: $S=\frac{1}{2}\sqrt{A{B}^2.A{C}^2-{\left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\right)}^2}$

Hướng dẫn giải:

Áp dụng công thức tính diện tích, ta có diện tích tam giác ABC là

$S=\frac{1}{2}AB.AC.\sin A$

$\Rightarrow S^2=\frac{1}{4}A{B}^2.A{C}^2.{\sin }^{2}A$

$\iff S^2=\frac{1}{4}A{B}^2.A{C}^2.\left(1-co{s}^{2}A\right)$      (áp dụng hệ thức sin²a + cos²a = 1)

$\iff S^2=\frac{1}{4}\left[A{B}^2.A{C}^2-{\left(AB.AC.cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\right)}^2\right]$ (do cosA = cos $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$)

$\iff S^2=\frac{1}{4}\left[A{B}^2.A{C}^2-{\left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\right)}^2\right]$

$\iff S=\frac{1}{2}\sqrt{A{B}^2.A{C}^2-{\left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\right)}^2}$ (điều cần phải chứng minh)

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tam giác ABC có trực tâm H và trung điểm cạnh BC là M. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{MA}=\frac{1}{2}B{C}^2$

B. $\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{MA}=\frac{1}{4}B{C}^2$

C. $\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{MA}=\frac{3}{4}B{C}^2$

D. $\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{MA}=\frac{5}{4}B{C}^2$

Bài 2. Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a và O là trọng tâm tam giác. Tập hợp tất cả các điểm M là đường tròn tâm O bán kính $\frac{a}{2}$. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA}=\frac{a^2}{4}$

B. $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA}=a^2$

C. $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA}=2a^2$

D. $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA}=\frac{a^2}{2}$

Bài 3. Cho hai điểm A, B và O là trung điểm của AB. Gọi M là một điểm tùy ý, khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=O{M}^2-O{A}^2$

B. $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=O{M}^2+O{A}^2$

C. $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=O{M}^2-2O{A}^2$

D. $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=O{M}^2+2O{A}^2$

Bài 4. Cho tứ giác ABCD có AC vuông góc với BD. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?

A. $A{B}^2+C{D}^2=B{C}^2-A{D}^2$

B. $A{B}^2+C{D}^2=B{C}^2+A{D}^2$

C. $A{B}^2+C{D}^2=2B{C}^2+A{D}^2$

D. $A{B}^2+C{D}^2=B{C}^2+2A{D}^2$

Bài 5. Cho tam giác ABC có trực tâm H. Gọi M là trung điểm BC. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?

A. $M{H}^2+M{A}^2=A{H}^2+\frac{1}{4}B{C}^2$

B. $M{H}^2+M{A}^2=A{H}^2+B{C}^2$

C. $M{H}^2+M{A}^2=A{H}^2+\frac{1}{2}B{C}^2$

D. $M{H}^2+M{A}^2=A{H}^2+\frac{1}{3}B{C}^2$

Bài 6. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi G’ là hình chiếu của trọng tâm G trên cạnh BC, biết điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho M’ là hình chiếu của M trên BC và 3M’G’ = BC. Đẳng thức nào dưới đây là đúng ?

A. $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=B{C}^2-M{B}^2+M{C}^2$

B. $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=B{C}^2-M{B}^2-M{C}^2$

C. $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}=B{C}^2-M{B}^2+M{C}^2$

D. $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=B{C}^2+M{B}^2-M{C}^2$

Bài 7. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2=3M{G}^2+G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2$

B. $M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2=3M{G}^2+G{A}^2-G{B}^2+G{C}^2$

C. $M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2=3M{G}^2-G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2$

D. $M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2=-3M{G}^2+G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2$

Bài 8. Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Trên cạnh AB lấy điểm M. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $c^2.C{M}^2=a^2.A{M}^2+b^2.B{M}^2+\left(a^2+b^2-c^2\right).AM.BM$

B. $c^2.C{M}^2=a^2.A{M}^2+b^2.B{M}^2+\left(a^2-b^2-c^2\right).AM.BM$

C. $c^2.C{M}^2=a^2.A{M}^2-b^2.B{M}^2+\left(a^2+b^2-c^2\right).AM.BM$

D. $c^2.C{M}^2=a^2.A{M}^2+b^2.B{M}^2-\left(a^2+b^2-c^2\right).AM.BM$

Bài 9. Cho MN là một đường kính bất kì của đường tròn tâm O bán kính R. Cho A là một điểm cố định và OA = d. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AN}=d^2+R^2$

B. $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AN}=d^2-R^2$

C. $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AN}=2d^2+R^2$

D. $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AN}=d^2+2R^2$

Bài 10. Cho nửa đường tròn đường kính AB. Có AC và BD là hai dây thuộc nửa đường tròn cắt nhau tại E. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?

A. $\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BE}.\overrightarrow{BD}=A{B}^2$

B. $\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BE}.\overrightarrow{BD}=A{B}^2$

C. $\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BE}.\overrightarrow{BD}=-A{B}^2$

D. $\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BE}.\overrightarrow{BD}=2A{B}^2$