Chứng minh hai vectơ hay hai đường thẳng vuông góc (bài tập + lời giải)

---

Haylamdo sưu tầm bài viết phương pháp giải bài tập Chứng minh hai vectơ hay hai đường thẳng vuông góc lớp 10 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Chứng minh hai vectơ hay hai đường thẳng vuông góc.

Chứng minh hai vectơ hay hai đường thẳng vuông góc (bài tập + lời giải)

1. Phương pháp giải

- Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ vuông góc $\iff \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=90°\iff \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0$

- Hai vectơ vuông góc với nhau thì giá của chúng vuông góc với nhau. Từ đó suy ra hai đường thẳng vuông góc với nhau.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tứ giác ABCD có AB² + CD² = BC² + AD². Chứng minh $\overrightarrow{DB}$ và $\overrightarrow{AC}$ vuông góc.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$A{B}^2+C{D}^2=B{C}^2+A{D}^2$

$\iff {\overrightarrow{AB}}^2+{\overrightarrow{CD}}^2={\overrightarrow{BC}}^2+{\overrightarrow{AD}}^2$

$\iff {\overrightarrow{AB}}^2+{\overrightarrow{CD}}^2-{\overrightarrow{BC}}^2-{\overrightarrow{AD}}^2=0$

$\iff {\overrightarrow{AB}}^2-{\overrightarrow{AD}}^2+{\overrightarrow{CD}}^2-{\overrightarrow{BC}}^2=0$

$\iff \left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right)\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)+\left(\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{BC}\right)\left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}\right)=0$

$\iff \overrightarrow{DB}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)+\overrightarrow{BD}\left(\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{BC}\right)=0$

$\iff \overrightarrow{DB}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)-\overrightarrow{DB}\left(\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{BC}\right)=0$

$\iff \overrightarrow{DB}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}\right)=0$

$\iff \overrightarrow{DB}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}\right)=0$

$\iff \overrightarrow{DB}.2\overrightarrow{AC}=0$

$\iff \overrightarrow{DB}.\overrightarrow{AC}=0$

Vậy $\overrightarrow{DB}$ và $\overrightarrow{AC}$ vuông góc.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a, AC = 2a. Gọi M là trung điểm của BC, điểm D thuộc AC sao cho $AD=\frac{a}{2}$. Chứng minh rằng BD vuông góc với AM.

Hướng dẫn giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A

Có: AB⊥AC ⇔ $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$ ⇔ $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=0$ vì D thuộc AC

Vì M là trung điểm của BC nên ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$

Lại có: $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$ (quy tắc ba điểm)

Khi đó ta có $2\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BD=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\right)}$

$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}-{\overrightarrow{AB}}^2+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}$

$=0-A{B}^2+AC.AD.cos0°-0$

$=-a^2+2a.\frac{a}{2}=0$

Vậy $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BD}=0\iff \overrightarrow{AM}\perp \overrightarrow{BD}\iff AM\perp BD$ (đcpcm).

3. Bài tập tự luyện.

Bài 1. Cho tam giác ABC có $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}$. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. Tam giác ABC vuông tại A;

B. Tam giác ABC vuông tại B;

C. Tam giác ABC vuông tại C;

D. Tam giác ABC là tam giác cân.

Bài 2. Cho hình vuông ABCD. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$;

B. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=0$;

C. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=0$;

D. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD}=0$.

Bài 3. Cho hình thoi ABCD tâm O. Khẳng định nào sau đây là sai ?

A. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$;

B. $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=0$;

C. $\overrightarrow{AO}.\overrightarrow{DO}=0$;

D. $\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}=0$.

Bài 4. Cho đường tròn (O; R) có hai dây cung AA’, BB’ vuông góc với nhau tại S, gọi M là trung điểm của AB. Hai đường thẳng nào sau đây vuông góc với nhau ?

A. SM và AB;

B. SM và SA;

C. SM và A’B’;

D. SM và AB’.

Bài 5. Cho hình thang ABCD với hai đáy là AB, CD có: $\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right).\overrightarrow{AC}=0$. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. BD vuông góc với AC;

B. AB vuông góc với AC;

C. AB vuông góc với DC;

D. BD vuông góc với DC.

Bài 6. Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ vuông góc, $\left|\overrightarrow{a}\right|=\mathrm{1,}\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{2}$. Các vectơ nào sau đây vuông góc ?

A. $2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{b}$;

B. $2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{a}$ - $\overrightarrow{b}$;

C. $2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{b}$;

D. $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{b}$.

Bài 7. Cho hai vectơ $\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{j}$ vuông góc với nhau, biết $\left|\overrightarrow{i}\right|=\left|\overrightarrow{j}\right|=1$, cho $\overrightarrow{a}=9\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}$ và $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}$. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{v}$ ngược hướng;

B. $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{v}$ cùng hướng;

C. $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{v}$ bằng nhau;

D. $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{v}$ vuông góc.

Bài 8. Cho hai vectơ $\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{j}$  vuông góc với nhau, biết $\left|\overrightarrow{i}\right|=\left|\overrightarrow{j}\right|=1$, cho $\overrightarrow{a}=3\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}$ và $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}$. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{v}$ ngược hướng;

B. $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{v}$ cùng hướng;

C. $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{v}$ không vuông góc;

D. $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{v}$ vuông góc.

Bài 9. Cho hai vectơ $\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{j}$ vuông góc với nhau, biết $\left|\overrightarrow{i}\right|=\left|\overrightarrow{j}\right|=1$, cho $\overrightarrow{u}=10\overrightarrow{i}-5\overrightarrow{j}$ và $\overrightarrow{\text{w}}=-\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}$. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{\text{w}}$ ngược hướng;

B. $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{\text{w}}$ cùng hướng;

C. $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{\text{w}}$ không vuông góc;

D. $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{\text{w}}$ vuông góc.

Bài 10. Cho hai vectơ $\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{j}$ vuông góc với nhau, biết $\left|\overrightarrow{i}\right|=\left|\overrightarrow{j}\right|=1$, cho $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{i}-5\overrightarrow{j}$ và $\overrightarrow{\text{w}}=-\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}$. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{\text{w}}$ ngược hướng;

B. $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{\text{w}}$ cùng hướng;

C. $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{\text{w}}$ không vuông góc;

D. $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{\text{w}}$ vuông góc.