Tính độ dài đoạn thẳng, độ dài vectơ (bài tập + lời giải)

---

Haylamdo sưu tầm bài viết phương pháp giải bài tập Tính độ dài đoạn thẳng, độ dài vectơ lớp 10 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tính độ dài đoạn thẳng, độ dài vectơ.

Tính độ dài đoạn thẳng, độ dài vectơ (bài tập + lời giải)

Tính độ dài đoạn thẳng, độ dài vectơ

1. Phương pháp giải

- Khi $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$ thì tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ được kí hiệu là ${\overrightarrow{a}}^2$ và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ $\overrightarrow{a}$. Ta có: ${\overrightarrow{a}}^2={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2$.

- Độ dài đoạn thẳng AB bằng độ dài vectơ $\overrightarrow{AB}$: $AB=\left|\overrightarrow{AB}\right|$.

- Có thể dựa vào các công thức quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, hằng đẳng thức đáng nhớ và công thức tích vô hướng của hai vectơ,...  để từ đó suy ra độ dài đoạn thẳng hoặc vectơ cần tính.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều khác $\overrightarrow{0}$. Biết: $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=60°$, $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=2$ và $\left|\overrightarrow{a}\right|=4$. Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{b}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)\iff 2=4.\left|\overrightarrow{b}\right|.cos60°$

$\iff 2=4.\left|\overrightarrow{b}\right|.\frac{1}{2}\iff 2=2\left|\overrightarrow{b}\right|\iff \left|\overrightarrow{b}\right|=1$

Vậy độ dài của vectơ $\overrightarrow{b}$ là 1.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có AB = 3a, AC = a, $\widehat{A}=60°$. Tính độ dài BC dựa vào tích vô hướng.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$B{C}^2={\overrightarrow{BC}}^2={\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)}^2={\overrightarrow{AC}}^2-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+{\overrightarrow{AB}}^2$

$=A{C}^2-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+A{B}^2$

Ta có:

$\cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)=\cos \widehat{A}=cos60°=\frac{1}{2}$

$\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC=a;\left|\overrightarrow{AB}\right|=AB=3a$

$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}=\left|\overrightarrow{AC}\right|.\left|\overrightarrow{AB}\right|.cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=a.3a.\frac{1}{2}=\frac{3}{2}{a}^2$

Do đó, ta có:

$B{C}^2=A{C}^2-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+A{B}^2=a^2-2.\frac{3}{2}{a}^2+{\left(3a\right)}^2=7a^2$

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều khác $\overrightarrow{0}$. Biết: $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=60°$, $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=2$ và $\left|\overrightarrow{a}\right|=2$. Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{b}$.

A. 1;

B. 2;

C. $\frac{1}{2}$;

D. $\frac{1}{4}$.

Bài 2. Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều khác $\overrightarrow{0}$. Biết: $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=30°$, $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\sqrt{3}$ và $\left|\overrightarrow{b}\right|=2$. Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}$

A. 1;

B. 2;

C. $\frac{1}{2}$;

D. $\frac{1}{4}$

Bài 3. Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều khác $\overrightarrow{0}$. Biết: $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=60°, \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=4$ và $\left|\overrightarrow{a}\right|+\left|\overrightarrow{b}\right|=6$. Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}$ với $\left|\overrightarrow{a}\right|>3$.  

A. 7;

B. 6;

C. 5;

D. 4.

Bài 4. Cho tam giác ABC có AB = 2a, AC = a, $\widehat{A}=30°$. Tính độ dài BC dựa vào tích vô hướng.

A. $a\sqrt{5-2\sqrt{3}}$;

B. $a\left(5-2\sqrt{3}\right)$;

C. 5a;

D. $2\sqrt{3}a$.

Bài 5. Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, $\widehat{A}=45°$. Tính độ dài BC dựa vào tích vô hướng.

A. $\sqrt{13+6\sqrt{2}}$;

B. $\sqrt{13-6\sqrt{2}}$;

C. 13;

D. $6\sqrt{2}$.

Bài 6. Cho tam giác ABC có BC = 2cm, BM = 1cm, $\widehat{CBM}=60°$ với M là trung điểm AC. Tính độ dài AC.

A. 3;

B. $3\sqrt{2}$;

C. 2;

D. $2\sqrt{3}$.

Bài 7. Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 3, $\widehat{A}=120°$. Tính độ dài trung tuyến AM dựa vào tích vô hướng.

A. $\frac{\sqrt{13}}{2}$;

B. $\sqrt{13}$;

C. 13;

D. 2.

Bài 8. Cho hình bình hành ABCD có: AD = a, AB = 2a, $\widehat{BAD}=60°$. Tính độ dài AC.

A. $\frac{\sqrt{13}}{2}a$;

B. $\sqrt{13}a$;

C. 13a;

D. $a\sqrt{7}$.

Bài 9. Cho hình bình hành ABCD có: BA = 3, BC = 2, $\widehat{CBA}=120°$. Tính độ dài BD.

A. $\frac{\sqrt{13}}{2}$;

B. $\sqrt{13}$;

C. 13;

D. $\sqrt{7}$.

Bài 10. Cho tam giác ABC có: AB = 4, AC = 5, $\widehat{BAC}=60°$. Điểm I thuộc cạnh BC sao cho BI = 2CI. Tính độ dài BI.

A. $\frac{2\sqrt{21}}{3}$;

B. $\frac{\sqrt{21}}{3}$;

C. 21;

D. $\frac{4\sqrt{21}}{3}$.