Chứng minh hai vectơ bằng nhau, hai vectơ đối nhau (bài tập + lời giải)

---

Haylamdo sưu tầm bài viết phương pháp giải bài tập Chứng minh hai vectơ bằng nhau, hai vectơ đối nhau lớp 10 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Chứng minh hai vectơ bằng nhau, hai vectơ đối nhau.

Chứng minh hai vectơ bằng nhau, hai vectơ đối nhau (bài tập + lời giải)

Chứng minh hai vectơ bằng nhau, hai vectơ đối nhau

1. Phương pháp giải

- Kí hiệu:

$\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ bằng nhau: $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$;

$\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đối nhau: $\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{b}$.

- Để chứng minh hai vectơ là bằng nhau, ta chứng minh hai vectơ đó có cùng hướng và cùng độ dài.

- Để chứng minh hai vectơ đối nhau, ta chứng minh hai vectơ đó ngược hướng và có cùng độ dài.

- Lưu ý:

+ Cho vectơ $\overrightarrow{a}$ và điểm O, ta luôn tìm được điểm A duy nhất sao cho $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$. Khi đó, độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}$ là độ dài đoạn OA, kí hiệu là $\left|\overrightarrow{a}\right|$.

+ Cho đoạn thẳng MN, ta luôn có: $\overrightarrow{MN}=-\overrightarrow{NM}$

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và  $\overrightarrow{DC}$ bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

Xét hình bình hành ABCD có:

AB // CD

Do đó, hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và  $\overrightarrow{DC}$ cùng phương, cùng hướng (từ dưới lên trên) (1).

Mặt khác, ta có: AB = CD (do ABCD là hình bình hành)

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{DC}\right|$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ bằng nhau hay $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

Ví dụ 2. Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh hai vectơ $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{DA}$ đối nhau.

Hướng dẫn giải:

Xét hình bình hành ABCD có:

BC // DA

Do đó, hai vectơ $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{DA}$ cùng phương, $\overrightarrow{BC}$ có hướng từ trái sang phải, $\overrightarrow{DA}$ có hướng từ phải sang trái. Do đó, hai vectơ $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{DA}$ ngược hướng. (1)

Mặt khác, ta có: BC = DA (do ABCD là hình bình hành)

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{DA}\right|$ (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra hai vectơ $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{DA}$ đối nhau hay $\overrightarrow{BC}$ = –$\overrightarrow{DA}$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC như hình vẽ.

Vectơ nào bằng vectơ $\overrightarrow{NA}$?

A. $\overrightarrow{CN}$;

B. $\overrightarrow{NB}$;

C. $\overrightarrow{MN}$;

D. $\overrightarrow{NC}$.

Bài 2. Cho tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Vectơ nào là vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{BM}$?

A. $\overrightarrow{CN}$;

B. $\overrightarrow{NB}$;

C. $\overrightarrow{AM}$;

D. $\overrightarrow{AN}$.

Bài 3. Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, BC của tam giác ABC. Vectơ nào sau đây bằng vectơ $\overrightarrow{NC}$.

A. $\overrightarrow{CN}$;

B. $\overrightarrow{MP}$;

C. $\overrightarrow{AM}$;

D. $\overrightarrow{NA}$.

Bài 4. Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, BC của tam giác ABC. Vectơ nào sau đây là vectơ đối của $\overrightarrow{PN}$.

A. $\overrightarrow{CN}$;

B. $\overrightarrow{MP}$;

C. $\overrightarrow{MN}$;

D. $\overrightarrow{MB}$.

Bài 5. Cho hình vuông ABCD tâm O như hình vẽ sau:

Vectơ nào sau đây bằng vectơ $\overrightarrow{OA}$?

A. $\overrightarrow{CO}$;

B. $\overrightarrow{OD}$;

C. $\overrightarrow{AO}$;

D. $\overrightarrow{BO}$.

Bài 6. Cho hình vuông ABCD tâm O.

Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}$;

B. $\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}$;

C. $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DA}$;

D. $\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OD}$.

Bài 7. Cho hình vuông ABCD có tâm O. Các điểm Q, K, L, N lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA như hình vẽ.

Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{KC}$;

B. $\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OL}$;

C. $\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{AN}$;

D. $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD}$.

Bài 8. Cho hình vuông ABCD có tâm O. Các điểm Q, K, L, N lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA như hình vẽ.

Khẳng định nào sau đây là sai ?

A. $\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{KC}$;

B. $\overrightarrow{OD}=-\overrightarrow{OB}$;

C. $\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{AN}$;

D. $\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OD}$.

Bài 9. Cho hình thoi ABCD tâm I như hình vẽ với E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD, CD, CB.

Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $\overrightarrow{HG}=\overrightarrow{FE}$;

B. $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{GD}$;

C. $\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{IA}$;

D. $\overrightarrow{EF}=-\overrightarrow{HG}$.

Bài 10. Cho hình thoi ABCD tâm I như hình vẽ với E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD, CD, CB và J, L, K, M lần lượt là giao điểm của HE với BD, EF với AC, FG với BD, GH với AC.

Khẳng định nào sau đây là sai ?

A. $\overrightarrow{JL}\ne \overrightarrow{GD}$;

B. $\overrightarrow{JL}=\overrightarrow{MK}$;

C. $\overrightarrow{JL}=\overrightarrow{BE}$;

D. $\overrightarrow{JL}\ne \overrightarrow{LK}$.