Lập phương trình chính tắc của hypebol (bài tập + lời giải)

---

Haylamdo sưu tầm bài viết phương pháp giải bài tập Lập phương trình chính tắc của hypebol lớp 10 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Lập phương trình chính tắc của hypebol.

Lập phương trình chính tắc của hypebol (bài tập + lời giải)

1. Phương pháp giải

Dựa vào các dữ kiện đã cho của đề bài để xác định các yếu tố:

• Hai tiêu điểm là F₁(–c; 0), F₂(c; 0) với c² = a² + b².

• Tiêu cự: 2c.

• Giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm thuộc hypebol đến hai tiêu điểm bằng 2a.

• Độ dài trục thực 2a, độ dài trục ảo 2b.

…

Từ các yếu tố ta tìm được a, b rồi suy ra phương trình chính tắc của hypebol là:

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\mathrm{1,}a,b>0.$

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Viết phương trình chính tắc của hypebol biết tiêu cự bằng 6 và độ dài trục thực bằng 4.

Hướng dẫn giải:

Giả sử hypebol (H) có phương trình là: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\mathrm{1,}a,b>0.$

Hypebol có tiêu cự 2c = 6 suy ra c = 3.

Độ dài trục thực 2a = 4 suy ra a = 2.

Ta có c² = a² + b², suy ra b² = c² – a² = 3² – 2² = 5.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol là: $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1.$

Ví dụ 2. Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) biết (H) có một tiêu điểm là F₂(3; 0) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng –2.

Hướng dẫn giải:

Giả sử hypebol (H) có phương trình là: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\mathrm{1,}a,b>0.$

Hypebol cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ bằng –2 suy ra A(–2; 0) thuộc vào hypebol.

Tức là $\frac{4}{a^2}-0=1$ hay a² = 4.

Điểm F₂(3; 0) là một tiêu điểm của hypebol suy ra c = 3 nên c² = 9.

Mà c² = a² + b² nên 9 = 4 + b² suy ra b² = 5.

Vậy phương trình hypebol (H) là: $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, một hypebol (H) có tiêu điểm $F_1\left(-\sqrt{5};0\right)$ và độ dài trục ảo bằng 4. Phương trình chính tắc của hypebol đó là

A. $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$;

B. $\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{2}=1$;

C. $\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{4}=1$;

D. $\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{4}=1$.

Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, một hypebol (H) có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\mathrm{1,}a,b>\mathrm{0,}$(H) đi qua điểm A₁(–7; 0) và tỉ số $\frac{a^2+b^2}{a^2}=2.$ Phương trình chính tắc của hypebol đó là

A. $\frac{x^2}{7}-\frac{y^2}{7}=1$;

B. $\frac{x^2}{7}+\frac{y^2}{7}=1$;

C. $\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{49}=1$;

D. $\frac{x^2}{49}-\frac{y^2}{49}=1$.

Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, một hypebol có tiêu cự bằng 8 và giá trị tuyệt đối của hiệu khoảng cách từ mỗi điểm thuộc hypebol đến hai tiêu điểm bằng 6. Phương trình chính tắc của hypebol đó là

A. $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9}=1$;

B. $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1$;

C. $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{25}=1$;

D. $\frac{x^2}{7}-\frac{y^2}{9}=1$;

Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình chính tắc của hypebol đi qua hai điểm $A\left(4\sqrt{2};2\right)$ và $B\left(-6;-\sqrt{5}\right)$ là

A. $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}=1$;

B. $\frac{x^2}{24}-\frac{y^2}{12}=1$;

C. $\frac{x^2}{32}-\frac{y^2}{8}=1$;

D. $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9}=1$.

Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho một hypebol (H) đi qua điểm (2; 1) và giá trị tuyệt đối của hiệu khoảng cách từ mỗi điểm thuộc hypebol đến hai tiêu điểm bằng $2\sqrt{2}.$ Phương trình chính tắc của hypebol đó là

A. $\frac{x^2}{2}+y^2=1.$

B. $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{3}=1.$

C. $x^2-\frac{y^2}{2}=1.$

D. $\frac{x^2}{2}-y^2=1.$

Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình chính tắc của hypebol (H) có một tiêu điểm là $\left(\sqrt{34};0\right)$ và độ dài trục thực bằng 10 là

A. $\left(H\right):\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9}=1$;

B. $\left(H\right):\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9}=-1$;

C. $\left(H\right):\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$;

D. $\left(H\right):\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{25}=1$.

Bài 7. Phương trình chính tắc của hypebol (H) có một tiêu điểm là (5; 0) và độ dài trục ảo  bằng 6 là

A. $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$;

B. $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=-1$;

C. $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$;

D. $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$.

Bài 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình chính tắc của hypebol có một tiêu điểm $F_1\left(-\sqrt{10};0\right)$ và đi qua điểm $A\left(4;-\sqrt{2}\right)$ là

A. $\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{6}=1$;

B. $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{4}=1$;

C. $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{2}=1$;

D. $\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{2}=1$.

Bài 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol (H) có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\mathrm{1,}a,b>0.$ Biết (H) có hai tiêu điểm F₁, F₂ nằm trên Ox và đối xứng qua gốc tọa độ O, (H) đi qua điểm $M\left(\frac{4\sqrt{34}}{5};\frac{9}{5}\right)$ sao cho tam giác MF₁F₂ vuông tại M. Tích a.b bằng

A. a.b = 12;

B. a.b = 15;

C. a.b = 20;

D. a.b = 10.

Bài 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol (H) có hai tiêu điểm F₁, F₂ nằm trên Ox và đối xứng qua gốc tọa độ O, (H) đi qua điểm có hoành độ bằng −5 và $M{F}_1=\frac{9}{4};M{F}_2=\frac{41}{4}.$ Phương trình chính tắc của hypebol (H) là

A. $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$;

B. $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$;

C. $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=1$;

D. $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9}=1$.