Ứng dụng ba đường conic vào các bài toán thực tế (bài tập + lời giải)

---

Haylamdo sưu tầm bài viết phương pháp giải bài tập Ứng dụng ba đường conic vào các bài toán thực tế lớp 10 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Ứng dụng ba đường conic vào các bài toán thực tế.

Ứng dụng ba đường conic vào các bài toán thực tế (bài tập + lời giải)

1. Một số ứng dụng của ba đường conic trong thực tế

Ba đường conic xuất hiện và có nhiều ứng dụng trong khoa học và cuộc sống, chẳng hạn:

+ Tia nước bắn ra từ đài phun nước, đường đi bổng của quả bóng là những hình ảnh về đường parabol.

+ Khi nghiêng cốc tròn, mặt nước trong cốc có hình elip. Tương tự, dưới ánh sáng mặt trời, bóng của một quả bóng, nhìn chung là một elip.

+ Ánh sáng phát ra từ một bóng đèn Led trên trần nhà có thể tạo nên trên tường các nhánh hypebol.

+ Nhiều công trình kiến trúc có hình elip, parabol hay hypebol.

+ Trong vũ trụ bao la, ánh sáng đóng vai trò sứ giả truyền tin. Ánh sáng phát ra từ một thiên thể sẽ mang những thông tin về nơi nó xuất phát. Khi nhận được ánh sáng, các nhà khoa học sẽ dựa vào đó để nghiên cứu, khám phá thiên thể. Trong thiên văn học, các gương trong kính thiên văn giúp nhà khoa học nhận được hình ảnh quan sát rõ nét hơn, ánh sáng thu được có các chỉ số phân tích rõ hơn.

+ Anten vệ tinh parabol là thiết bị thu tín hiệu truyền về từ vệ tinh.Tín hiệu sau khi gặp parabol bị hắt lại và hội tụ về điểm thu được đặt lại tiêu điểm của parabol.

+ Đèn pha đáy parabol giúp ánh sáng có thể phát xa (chẳng hạn giúp đèn ô tô có thể chiếu xa). Ánh sáng xuất phát từ vị trí tiêu điểm của parabol, chiếu vào đáy đèn, các tia sáng bị hắt lại thành các tia sáng nằm trên các đường thẳng song song.

+ Trong y học, để tán sỏi thận người ta có thể dùng chùm tia laser phát ra từ một tiêu điểm của gương elip để sau khi phản xạ sẽ hội tụ tại tiêu điểm còn lại cũng chính là vị trí sỏi.

+ Tháp giải nhiệt hình hypebol trong lò phản ứng hạt nhân hay trong nhà máy nhiệt điện có kiến trúc đảm bảo độ vững chãi, tiết kiệm nguyên vật liệu và giúp quá trình tỏa nhiệt được thuận lợi.

+ Bằng các quan sát và phân tích thiên văn, người ta đưa ra định luật nói rằng các hành tinh trong hệ mặt trời chuyển động theo quỹ đạo là các đường elip nhận tâm Mặt trời là tiêu điểm.

Bài toán: Ứng dụng ba đường conic vào thực tế.

Để giải được bài toán trên, ta mô tả bài toán dưới hình vẽ của ba đường conic gắn với hệ trục tọa độ Oxy, sau đó dựa vào các yếu tố của ba đường conic để giải bài toán.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Hình dưới đây là một tấm giấy hình chữ nhật kích thước 12 dm × 8 dm, trên đó có một đường tròn và hai nhánh của một hypebol. Tính tiêu cự của hypebol.

Hướng dẫn giải:

Xây dựng hệ trục toạ độ Oxy như hình trên, trong đó 1 dm ứng với 1 đơn vị.

Gọi hypebol đã cho là (H): $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\mathrm{1,}$ với a, b > 0.

Tấm bìa có kích thước 12 × 8, ta thấy đường kính của đường tròn là 8 nên bán kính R = 4.

Ta có điểm A’(4; 0) là đỉnh của (H) nên a = 4, do đó (H): $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{b^2}=1$.

Điểm M(6; 4) ∈ (H) nên ta có $\frac{36}{16}-\frac{16}{b^2}=1$, suy ra $b^2=\frac{64}{5}$

Ta có $c^2=a^2+b^2=16+\frac{64}{5}=\frac{144}{5}.$ Do đó $c=\frac{12}{\sqrt{5}}.$

Vậy hypebol có tiêu cự là $2c=2\cdot \frac{12}{\sqrt{5}}=\frac{24\sqrt{5}}{5},$ tương ứng với $\frac{24\sqrt{5}}{5}\text{ dm.}$

Ví dụ 2. Gia chủ có một miếng đất có hình Elip với độ dài trục lớn bằng 4 m, độ dài trục nhỏ bằng 2 m. Gia chủ muốn trồng hoa thành hình tam giác cân OAB (tham khảo hình vẽ) với điểm O là tâm của Elip, các điểm A và B thuộc đường Elip nói trên. Diện tích trồng hoa lớn nhất bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Giả sử (E) có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$

Do 2a = 4 nên a = 2. Do 2b = 2 nên b = 1.

Khi đó phương trình đường Elip là (E): $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1.$

Chọn hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ.

Không mất tổng quát, ta chọn điểm A và B thuộc (E) sao cho điểm A và B có hoành độ dương. Do tam giác OAB cân tại O, suy ra A đối xứng với B qua Ox.

Gọi điểm A(x₀; y₀) suy ra B(x₀ ; –y₀) (x₀ > 0).

A ∈ (E) nên ta có $\frac{x_0^2}{4}+\frac{y_0^2}{1}=1\Rightarrow \left|y_0\right|=\frac{\sqrt{4-x_0^2}}{2}$

Ta có $AB=2\left|y_0\right|=\sqrt{4-x_0^2}$

Gọi là trung điểm AB thì H(x₀; 0) suy ra OH = x₀

$S_{\Delta OAB}=\frac{1}{2}.OH.AB=\frac{1}{2}.x_0.\sqrt{4-x_0^2}=\frac{1}{2}.\sqrt{x_0^2\left(4-x_0^2\right)}\le \frac{1}{2}.\frac{x_0^2+4-x_0^2}{2}=1$

Dấu “=” xảy ra khi $x_0^2=4-x_0^2\iff x_0^2=2\Rightarrow y_0=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Vậy diện tích trồng hoa lớn nhất bằng 1 m².

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Để chụp toàn cảnh, ta có thể sử dụng một gương hypebol. Máy ảnh được hướng về phía đỉnh của gương và tâm quang học của máy ảnh được đặt tại một tiêu điểm của gương (hình vẽ).

Phương trình cho mặt cắt của gương là .

Khoảng cách từ quang tâm của máy ảnh đến đỉnh của gương (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất) là

A. 12,8;

B. 5;

C. 1,4;

D. 11,4.

Bài 2. Một gương hypebol (được sử dụng trong một số kính thiên văn) có tính chất là một tia sáng hướng vào tiêu điểm sẽ bị phản xạ sang tiêu điểm khác. Gương trong hình vẽ có phương trình $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{64}=1$. Điểm nào trên gương sẽ nhận được tia sáng đi qua điểm (0; 10) và bị phản xạ sang tiêu điểm còn lại? (tham khảo hình vẽ)

A. M(6,54; 3,65);

B. M(6,54; 3,55);

C. M(– 32,25; 42,25);

D. M(6,54; – 3,55);.

Bài 3. Điều hướng LORAN (điều hướng vô tuyến đường dài) cho máy bay và tàu thủy sử dụng các xung đồng bộ được truyền bởi hai trạm phát đặt cách xa nhau. Các xung này di chuyển với tốc độ ánh sáng (186 000 dặm/giây). Sự chênh lệch về thời gian nhận được phản xạ của các xung này từ một máy bay hoặc tàu thủy là không đổi, nên máy bay hoặc con tàu sẽ nằm trên một hyperbol có các trạm phát là các tiêu điểm. Giả sử rằng hai trạm phát cách nhau 300 dặm, được đặt trên một hệ tọa độ vuông góc tại các điểm có tọa độ (–150; 0) và (150; 0) và một con tàu đang đi trên một con đường là một nhánh của hypebol và có tọa độ (x; 75) (xem hình vẽ).

Giá trị gần đúng của hoành độ của vị trí con tàu khi chênh lệch thời gian giữa các xung từ các trạm phát là 1 000 micro giây (0,001 giây) là

A. 110,2789;

B. –110,2789;

C. 52,3891;

D. 73,4231.

Bài 4. Điều hướng LORAN (điều hướng vô tuyến đường dài) cho máy bay và tàu thủy sử dụng các xung đồng bộ được truyền bởi các trạm phát đặt cách xa nhau. Các xung này di chuyển với tốc độ ánh sáng (186 000 dặm/giây). Sự chênh lệch về thời gian nhận được phản xạ của các xung này từ một máy bay hoặc tàu thủy là không đổi, nên máy bay hoặc con tàu sẽ nằm trên một hyperbol có các trạm phát là các tiêu điểm. Giả sử rằng hai trạm phát, cách nhau 300 dặm, được đặt trên một hệ tọa độ vuông góc tại các điểm có tọa độ (–150; 0) và (150; 0) và một con tàu đang đi trên một con đường là một nhánh của hypebol (xem hình vẽ).

Biết rằng độ chênh lệch thời gian giữa các xung từ các trạm phát với con tàu là 1 000 micro giây (0,001 giây). Khoảng cách giữa tàu và trạm phát số 1 khi tàu vào bờ là

A. 93;

B. 57;

C. 150;

D. 243.

Bài 5. Một con tàu đang trên hành trình đi song song với một bờ biển thẳng và cách bờ 80 km. Hai trạm truyền tin S₁ và S₂ nằm trên bờ biển, cách xa nhau 220 km. Bằng cách tính giờ các tín hiệu vô tuyến từ hai trạm, hoa tiêu của tàu xác định rằng con tàu đang ở giữa hai trạm và ở gần S₂ hơn S₁ là 60 km. Khoảng cách từ con tàu tới trạm S₂ (làm tròn đến hai chữ số thập phân) là

A. 107,89 km;

B. 167,89 km;

C. 136,01 km;

D. 75,50 km.

Bài 6. Một vụ nổ được hai micro M₁ và M₂ cách nhau 2 dặm ghi lại ( dặm bằng 5 280 feet). Micro M₁ nhận được âm thanh trước 4 giây so với micro M₂. Giả sử âm thanh di chuyển với tốc độ 1 100 feet/giây. Tập tất cả các điểm P xảy ra vụ nổ thỏa mãn các điều kiện trên là một hypebol có phương trình dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, với hai micro M₁ và M₂ là các tiêu điểm. Khi đó a + b bằng bao nhiêu? (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị)

A. 2 200;

B. 4 800;

C. 5 280;

D. 7 000.

Bài 7. Hai tháp vô tuyến cách nhau 200 km được đặt dọc bờ biển với A nằm về phía Tây đối với B. Các tín hiệu vô tuyến được gửi đồng thời từ mỗi tháp tới một con tàu và tín hiệu ở B nhận được sớm hơn 500 micro giây trước tín hiệu ở A. Giả sử rằng các tín hiệu vô tuyến truyền đi với vận tốc 300 mét/micro giây và con tàu nằm về phía Bắc của tháp B thì tàu cách bờ biển bao xa (làm tròn đến hai chữ số thập phân)?

A. 75,00 km;

B. 66,14 km;

C. 100,00 km;

D. 58,33 km.

Bài 8. Một kiến trúc sư quan tâm đến việc thiết kế một mái vòm mỏng có hình dạng của hình Hyperbolic parabolid như Hình 1. Hỏi điểm thuộc Hyperbol nằm cao hơn đỉnh 6 m ở bên phải cách đỉnh bao xa (làm tròn tới hai chữ số thập phân)?

A. 6,48 m;

B. 3,16 m;

C. 10,31 m;

D. 8,83 m.

Bài 9. Một tòa tháp có mặt cắt hình hypebol có phương trình $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{49}=1$. Biết khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng O của hypebol bằng khoảng cách từ tâm đối xứng O đến đáy tháp. Tòa tháp có chiều cao 50 m. Bán kính đáy của tháp bằng

A. 43,28 m;          

B. 22,25 m;          

C. 28,31 m;          

D. 57,91 m.

Bài 10. Một anten gương đơn hình parabol có phương trình y² = 20x. Ống thu của anten được đặt tại tiêu điểm của nó. Ta sẽ đặt ống thu tại điểm có tọa độ là

A. (0; 10);            

B. (0 ; 5);             

C. (10; 0);            

D. (5; 0).