Phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách (bài tập + lời giải)

---

Haylamdo sưu tầm bài viết phương pháp giải bài tập Phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách lớp 10 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách.

Phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách (bài tập + lời giải)

1. Phương pháp giải

Bài toán 1. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M(x₀; y₀) và cách điểm N(x₁; y₁) một khoảng bằng h.

Để giải được bài toán trên, ta thực hiện theo hai cách sau:

Cách 1.

Bước 1. Gọi phương trình đường thẳng ∆ đi qua M(x₀; y₀) và có hệ số góc k có dạng là:

y – y₀ = k(x – x₀) hay kx – y + y₀ – kx₀ = 0 (*)

Bước 2. Áp dụng công thức d(N, ∆) = h. Từ đó suy ra giá trị k cần tìm.

Bước 3. Thay giá trị k vừa tìm vào (*) ta viết được phương trình đường thẳng ∆.

Cách 2.

Bước 1. Gọi phương trình đường thẳng ∆ cần tìm có dạng ax + by + c = 0 (với a² + b² ≠ 0).

Bước 2. Đường thẳng ∆ đi qua M(x₀; y₀) tọa độ M thỏa mãn phương trình ∆.

             Ta được phương trình (1).

Bước 3. Áp dụng công thức d(N, ∆) = h. Ta được phương trình (2).

             Từ (1), (2) suy ra giá trị a, b, c cần tìm.

Bước 3. Thay giá trị a, b, c vừa tìm vào phương trình ax + by + c = 0 ta viết được phương trình đường thẳng ∆.

Bài toán 2. Viết phương trình đường thẳng d không đi qua A(x_A; y_A), B(x_B; y_B) và cách đều hai điểm đó.

Khi đó bài toán trở thành viết phương trình đường thẳng d song song với AB hoặc viết phương trình đường thẳng d là đường trung trực của AB.

Để viết phương trình đường trung trực của AB, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Tìm tọa độ trung điểm I(x_I; y_I) của AB theo công thức:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_I=\frac{x_A+x_B}{2}\\ y_I=\frac{y_A+y_B}{2}\end{array}\right..$

Bước 2. Tìm tọa độ của $\overrightarrow{AB}.$

Bước 3. Viết phương trình đường thẳng d.

Đường thẳng d đi qua I và nhận $\overrightarrow{AB}$ làm vectơ pháp tuyến.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua M(2; 7) và cách N(1; 2) một khoảng bằng 1.

Hướng dẫn giải:

Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(2; 7) và có hệ số góc k có dạng là:

y – 7 = k(x – 2) hay kx – y + 7 – 2k = 0.

Vì ∆ cách N(1; 2) một khoảng bằng 1 nên ta có: d(N, ∆) = 1

$\iff \frac{\left|k.1-2+7-2k\right|}{\sqrt{k^2+{\left(-1\right)}^2}}=1\iff \frac{\left|-k+5\right|}{\sqrt{k^2+1}}=1\iff {\left(-k+5\right)}^2={\left(\sqrt{k^2+1}\right)}^2$

$\iff k^2-10k+25=k^2+1\iff 10k=24\iff k=\frac{12}{5}$

Vậy phương trình ∆ là: $\frac{12}{5}x-y+7-2.\frac{12}{5}=\mathrm{0,}$ hay 12x – 5y + 11 = 0.

Ví dụ 2. Cho đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=2+2t\\ y=3+t\end{array}\right.$. Tìm điểm M thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến điểm A(0; 1) bằng 5.

Hướng dẫn giải:

Điểm M(x; y) thuộc d: $d:\left\{\begin{array}{l}x=2+2t\\ y=3+t\end{array}\right.$ nên tọa độ của M phải thỏa mãn phương trình của d.

Gọi M(2 + 2t; 3 + t) thuộc vào đường thẳng d.

Ta có: $\overrightarrow{AM}=\left(2+2t;2+t\right)$

Theo giả thiết:

AM = 5 $\iff \sqrt{{\left(2+2t\right)}^2+{\left(2+t\right)}^2}=5\iff 4+8t+4t^2+4+4t+t^2=25$

$\iff 5t^2+12t-17=0\iff \left[\begin{array}{l}t=1\\ t=-\frac{17}{5}\end{array}\right.$

Với t = 1 ta có M(4; 4).

Với $t=-\frac{17}{5}$ ta có $M\left(-\frac{24}{5};-\frac{2}{5}\right)$.

Vậy có 2 điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là M(4; 4); $M\left(-\frac{24}{5};-\frac{2}{5}\right)$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hai điểm A(3; 1), B(4; 0). Đường thẳng không đi qua A, B có phương trình nào sau đây cách đều A và B?

A. –2x + 2y – 3 = 0;

B. x – y – 3 = 0;

C. x + 2y – 3 = 0;

D. 2x + y – 3 = 0.

Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình đường thẳng đi qua A(–1; 2) và cách B(3; 5) một khoảng bằng 3 là

A. Δ₁: y + 2 = 0 và Δ₂: 24x – 7y + 38 = 0;

B. Δ₁: y – 2 = 0 và Δ₂: 24x + 7y + 38 = 0;

C. Δ₁: y – 2 = 0 và Δ₂: 24x – 7y + 38 = 0;

D. Δ₁: y + 2 = 0 và Δ₂: 24x + 7y + 38 = 0.

Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình đường thẳng d vuông góc với đường thẳng Δ: 2x + y – 1 = 0 và cách điểm M(3; – 2) một khoảng bằng $\sqrt{5}$ là

A. d₁: x – 2y – 12 = 0 và d₂: x – 2y – 2 = 0;

B. d₁: x – 2y – 12 = 0 và d₂: x – 2y + 2 = 0;

C. d₁: x – 2y + 12 = 0 và d₂: x – 2y – 2 = 0;

D. d₁: x – 2y + 12 = 0 và d₂: x – 2y + 2 = 0.

Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình đường thẳng d song song với d’: 3x + 4y – 1 = 0 và cách d’ một khoảng bằng 2 là

A. d: 3x + 4y – 9 = 0 hoặc d: 3x + 4y + 11 = 0;

B. d: 3x + 4y + 9 = 0 hoặc d: 3x + 4y – 11 = 0;

C. d: 3x + 4y + 3 = 0 hoặc d: 3x + 4y – 17 = 0;

D. d: 3x + 4y – 3 = 0 hoặc d: 3x + 4y + 17 = 0.

Bài 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A(0; 1), B(12; 5) và C(–3; 0). Đường thẳng có phương trình nào sau đây cách đều ba điểm A, B và C?

A. x – 3y + 4 = 0;

B. –x + y + 10 = 0;

C. x + y = 0;

D. 5x – y + 1 = 0.

Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 1), B(–2; 4) và đường thẳng Δ: mx – y + 3 = 0. Giá trị của tham số m để Δ cách đều hai điểm A, B là

A. m ∈ {1; –2};

B. m ∈ {–1; 2};

C. m ∈ {–1; 1};

D. m ∈ {–2; 2}.

Bài 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm cách đường thẳng Δ: 3x – 4y + 2 = 0 một khoảng bằng 2 là hai đường thẳng có phương trình nào sau đây?

A. 3x – 4y + 8 = 0; 3x – 4y + 12 = 0;

B. 3x – 4y – 8 = 0; 3x – 4y + 12 = 0;

C. 3x – 4y – 8 = 0; 3x – 4y – 12 = 0;

D. 3x – 4y + 8 = 0; 3x – 4y – 12 = 0.

Bài 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng Δ: x + (m – 1)y + m = 0 (m là tham số bất kỳ) và điểm A(5; 1). Khoảng cách lớn nhất từ điểm A đến Δ bằng

A. $\sqrt{10}$

B. 2$\sqrt{10}$

C. 3$\sqrt{10}$

D. 4$\sqrt{10}$

Bài 9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d­₁: 5x + 3y – 3 = 0 và d₂: 5x + 3y + 7 = 0 song song nhau. Đường thẳng vừa song song và cách đều với d₁, d₂ là:

A. 5x + 3y – 2 = 0;

B. 5x + 3y + 4 = 0;

C. 5x + 3y + 2 = 0;

D. 5x + 3y – 4 = 0.

Bài 10. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(1; −1) và B(3; 4). Gọi (d) là một đường thẳng bất kì luôn đi qua B. Khi khoảng cách từ A đến đường thẳng (d) đạt giá trị lớn nhất, đường thẳng (d) có phương trình nào dưới đây?

A. x – y + 1 = 0;

B. 3x + 4y = 25;

C. 5x – 2y – 7 = 0;

D. 2x + 5y – 26 = 0.