Tìm điểm thuộc đường thẳng có độ dài thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 10

---

Tìm điểm thuộc đường thẳng có độ dài thỏa mãn điều kiện

Với Tìm điểm thuộc đường thẳng có độ dài thỏa mãn điều kiện Toán lớp 10 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Tìm điểm thuộc đường thẳng có độ dài thỏa mãn điều kiện từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 10.

A. Phương pháp giải

Để tìm được điểm (tham số m) thỏa mãn điều kiện T ta cần sử dụng các công thức sau:

+ Khoảng cách từ điểm M(x₀; y₀) đến đường thẳng d: ax + by + c = 0 là:

d(M; d) =

+ Khoảng cách hai điểm A(x_A; y_A) và B ( x_B; y_B) là:

AB =

+ Để điểm M (x0; y0) cách đều hai đường thẳng d: ax + by + c = 0 và d’: a’x + b’y + c’ = 0

⇔ d( M;d) = d( M;d’) ⇔

+ Tam giác ABC cân tại A khi và chỉ khi AB = AC.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho d: Tìm điểm M trên d cách A(0; 1) một đoạn bằng 5

A. M( ; )    B. M₁(4; 4) ; M₂( ; )    C. M₁(4; 4) ; M₂(- ; - )    D. M( 2; -3)

Lời giải

Lấy điểm M( 2 + 2t; 3 + t) nằm trên d ; AM→( 2 + 2t; t + 2)

Để AM = 5 khi và chỉ khi

(2t + 2)² + (t + 2)² = 25 hay 5t² + 12t - 17 = 0

Suy ra t = 1 hoặc t = -

+ Với t = 1 thì M( 4; 4)

+ Với t = - ⇒ M₂(- ; - ).

Chọn C

Ví dụ 2. Khoảng cách nhỏ nhất từ điểm M(15; 1) đến một điểm bất kì thuộc đường thẳng ∆ : bằng:

A. √10    B.    C.    D. √5

Lời giải

+ Ta đưa đường thẳng ∆ về dạng tổng quát:

∆:

⇒ ( ∆) : 1(x - 2) – 3( y - 0) = 0 hay x - 3y - 2 = 0

+ Với mọi điểm N bất kì thuộc ∆ ta luôn có: MN ≤ d( M; ∆)

⇒ MN_min = d( M; ∆) = = √10

Chọn A.

Ví dụ 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A( -2; 2), B(4; -6) và đường thẳng . Tìm điểm M thuộc d: sao cho M cách đều hai điểm A; B

A. M( 3; 7)    B. M( -3; -5)    C. M( 2; 5)    D. M( -2; -5)

Lời giải

Do điểmM thuộc đường thẳng d nên tọa độ M( t; 1 + 2t)

MA² = ( t + 2)² + ( 2t - 1)² và MB² = (t - 4)² + (2t + 7)²

Để MA = MB ⇔ AM² = MB²

⇔ ( t + 2)² + (2t - 1)² = (t - 4)² + (2t + 7)²

⇔ t² + 4t + 4 + 4t² - 4t + 1 = t² - 8t + 16 + 4t² + 28t + 49

⇔ 20t = - 60 ⇔ t = -3

⇒ Tọa độ điểm M ( -3; -5).

Chọn B.

Ví dụ 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(-1; 2) ; B(-3;2) và đường thẳng d: 2x - y + 3 = 0. Tìm điểm C thuộc d sao cho tam giác ABC cân tại C.

A. C( -2; -1)    B. C( 1; -2)    C. C( -1; 1)    D. C(0; 3)

Lời giải

Gọi tọa độ điểm C(x;y) .

+ Do điểm C thuộc đường thẳng d nên 2x - y + 3 = 0 ( 1) .

+ Ta có AC² = ( x + 1)² + ( y - 2)² và BC² = ( x + 3)² + (y - 2)²

Để tam giác ABC cân tại C thì CA = CB ⇔ CA² = CB²

⇔ ( x + 1)² + (y - 2)² = (x + 3)² + (y - 2)²

⇔ x² + 2x + 1 + y² - 4y + 4 = x² + 6x + 9 + y² - 4y + 4

⇔ - 4x = 8 (2).

Từ( 1) và ( 2) ta có hệ phương trình :

Vậy tọa độ điểm C(-2; -1).

Chọn A.

Ví dụ 5. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để khoảng cách từ điểm A(-1;2) đến đường thẳng ∆: mx + y - m + 4 = 0 bằng 2√5 .

A. m = 2    B. m = -2 hoặc m =    C. m = -    D. Không tồn tại m.

Lời giải

Khoảng cách từ A đến đường thẳng ∆:

d(A; Δ) = = 2√5

⇔ |- 2m + 6| = 2√5.

⇔ |m - 3| = √5. ⇔ 4m² + 6m - 4 = 0

⇔ m = -2 hoặc m =

Chọn B.

Ví dụ 6. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng d₁: và d₂: x - 2y + m = 0 đến gốc toạ độ bằng 2.

A. m = -4 hoặc m = 2    B. m = - 4 hoặc m = -2

C. m = 4 hoặc m = 2    D. m = 4 hoặc m = -2

Lời giải

+ ta đưa đường thẳng d1 về dạng tổng quát:

(d₁ ):

⇒ phương trình d1: 1( x - 0) + 1 (y - 2) = 0 hay x + y - 2 = 0

+ Giao điểm của d₁ và d₂ là nghiệm hệ phương trình:

Vậy giao điểm của hai đường thẳng d₁ và d₂ là M(4 - m; m - 2)

+ Khi đó: OM = 2 ⇔ OM² = 4

⇔(4 - m)² + (m - 2)² = 4 ⇔ 16 - 8m + m² + m² - 4m + 4 = 4

⇔2m² - 12m + 16 = 0 ⇔ m = 2 hoặc m = 4

Chọn C.

Ví dụ 7. Với giá trị nào của m thì đường thẳng Δ: x - y + m = 0 tiếp xúc với đường tròn ( C): tâm O(0; 0) và bán kính R = 1?

A. m = ±1    B. m = 0    C. m = √2    D. m =

Lời giải

Để đường thẳng ∆ tiếp xúc đường tròn khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng ∆ bằng bán kính R

d(O; Δ) = R ⇔ = 1 ⇔ m = ±1.

Chọn A.

Ví dụ 8: Tìm điểm M trên trục Ox sao cho nó cách đều hai đường thẳng:
d₁: 3x + 2y - 6 = 0 và d₂: 3x + 2y + 6 = 0 ?

A. (1; 0)    B. (0; 0)    C. (0; √2)    D. (√2; 0)

Hướng dẫn giải

Gọi tọa độ điểm M( a;0) .

Khoảng cách từ M đến hai đường thẳng là:

d(M; d₁) = và d( M; d₂) =

để M cách đều hai đường thẳng khi và chỉ khi :

=

⇒ Tọa độ điểm M ( 0; 0)

Chọn B.

Ví dụ 9: Cho hai điểm A( 1; 2) và B( 4; 6). Tìm tọa độ điểm M trên trục Oy sao cho diện tích tam giác MAB bằng 1 ?

A. (0 ; ) và (0; )    B. (1; 0)    C. (4; 0)    D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Độ dài đoạn AB = = 5

+ Điểm M thuộc Oy nên tọa độ M ( 0; y).

+ Vì diện tích tam giác MAB bằng 1 nên S = AB.d( M;AB) = 1

⇔ .5.d( M; AB) = 1 ⇒ d( M; AB) =

+ Phương trình đường thẳng AB:

⇒ Phương trình AB: 4( x - 1) – 3( y - 2) = 0 hay 4x - 3y + 2 = 0

⇒ d( M; AB) = =

Vậy có hai điểm M thỏa mãn M(0; 0) hoặc M( 0; )

Chọn D.

Ví dụ 10 : Cho ba điểm A(0; 1) ; B(12; 5) và C(-3; 0). Đường thẳng nào sau đây cách đều ba điểm A; B; C

A. x - 3y + 4 = 0    B. –x + y + 10 = 0    C. x + y = 0    D. 5x - y + 1 = 0.

Lời giải

Cách 1 : Ta có : AB→( 12; 4); AC→( -3; -1) ⇒ AB→ = - 4AC→

⇒ ba điểm A ; B và C thẳng hàng .

⇒ Nếu đường thẳng d cách đều 3 điểm A, B ; C thì nó phải song song hoặc trùng với AB.

Đường thẳng (d) nhận vecto AC→( -3 ; -1) làm VTCP nên nhận vecto n→( 1 ; -3) làm VTPT

⇒ đường thẳng d có dạng : x - 3y + c = 0

Kiểm tra các phương án, ta thấy phương án A thỏa mãn

Cách 2: Tính khoảng cách từ 3 điểm đến lần lượt các đường thẳng trong các phương án A, B, C, D.

Chọn A.

Ví dụ 11. Cho A(2; 2) ; B(5; 1) và đường thẳng ∆: x - 2y + 8 = 0 . Điểm C thuộc ∆ và C có hoành độ dương sao cho diện tích tam giác ABC bằng 17. Tọa độ của C là

A. (10; 12)    B. (12 ; 10)    C. ( 8; 8)    D. (10; 8)

Lời giải

Phương trình đường thẳng AB:

⇒ ( AB) : 1(x - 2) + 3(y - 2) = 0 hay x + 3y – 8 = 0

Điểm

Độ dài AB = = √10 và khoảng cách từ C đến AB:

D( C; AB)= =

Diện tích tam giác ABC là:

S = AB.d(C; AB) = 17 ⇔ √10. = 17

⇔ |5t - 16| = 34 ⇒

Mà C có hoành độ dương nên t = 10 ⇒ C( 12; 10) .

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;1) ; B( -2; 4) và đường thẳng ∆: mx - y + 3 = 0. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để ∆ cách đều hai điểm A; B.

A. m = 1 hoặc m = -2    B. m = -1 hoặc m = 2

C. m = 1 hoặc m = -1    D. m = 2 hoặc m = - 2

Lời giải:

Đáp án: C

Trả lời:

+ Để một đường thẳng ∆ cách đều hai điểm A và B thì ∆ // AB hoặc ∆ là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

+ Gọi d là đường thẳng song song với AB ⇒ d nhận AB→( -3; 3) VTCP nên nhận

n→( 1; 1) làm VTPT

⇒ (d) có dạng : x + y + c = 0

Để d// ∆ ⇔ m/1= (-1)/1≠3/c ⇔ m= -1 và c ≠-3.

⇒ Với m = - 1 thì d//∆ nên ∆ cách đều hai điểm A và B

+ Gọi ( d’) là đường trung trực của đoạn AB.

( d’) :

⇒ Phương trình ( d’) : 1( x + ) - 1( y - ) = 0 hay x - y + 3 = 0

⇒ Để d’ trùng với ∆ thì m = 1. Khi đó; ∆ là đường trùng trực của AB nên ∆ cách đều hai điểm A và B.

Vậy với m = 1 hoặc m = -1 thì đường thẳng ∆ cách đều hai điểm A và B

Câu 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A( 1; 1) ; B(4; - 3) và đường thẳng d: x - 2y - 1 = 0. Tìm điểm M thuộc d có tọa độ nguyên và thỏa mãn khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng 6.

A. M( 3; 7)    B. M( 7; 3)    C. M( -43; -27)    D. M(3; - )

Lời giải:

Đáp án: B

Trả lời:

+ Phương trình đường thẳng AB:

⇒ ( AB) : 4(x - 1) + 3(y - 1) = 0 hay 4x + 3y - 7 = 0

+ Lấy điểm M ( 2m + 1; m) thuộc d với m nguyên

Khi đó để khoảng cách từ M đến AB bằng 6 thì:

6 = d(M; AB) =

⇔|11m - 3| = 30 ⇔ → M(7;3).

Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ oxy , cho điểm A( 0; 1) và đường thẳng
d: . Tìm điểm M thuộc d và cách A một khoảng bằng 5, biết M có hoành độ âm.

A. M(-2; 1)    B.    C. M(- ; - )    D. M( -4; 4)

Lời giải:

Đáp án: C

Trả lời:

Do điểm M thuộc đường thẳng d nên tọa độ của M( 2 + 2t; 3 + t)

với 2 + 2t < 0 hay t < -1 vì M có hoành độ âm

Khi đó để M cách A một khoảng bằng 5 thì AM = 5 ⇔ AM² = 25

⇔( 2 + 2t)² + (2 + t)² = 25 ⇔ 4 + 8t + 4t² + 4 + 4t + t² = 25

⇔5t² + 12t - 17 = 0

⇔

Với t = thì M(- ; - )

Câu 4: Biết rằng có đúng hai điểm thuộc trục hoành và cách đường thẳng
∆: 2x - y + 5 = 0 một khoảng bằng 2√5. Tích hoành độ của hai điểm đó bằng:

A. -    B. -    C. -    D. Đáp số khác.

Lời giải:

Đáp án: A

Trả lời:

Điểm M ( x; 0) thuộc trục hoành.

Do khoảng cách từ M đến ∆ là 2√5 nên

d(M; Δ) = 2√5 ⇔ ⇔ |2x + 5| = 10

⇔

Vậy có hai điểm thỏa mãn là M₁( ; 0) và M₂( ; 0).

Tích hoành độ của hai điểm đó là: . = -

Câu 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A(3; -1) và B(0;3). Tìm điểm M thuộc trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng 1.

A. M( ; 0) ; M(1;0)    B. M( ; 0) ;M( ; 0)

C. M( - ; 0) ;M( -1; 0)    D. M( - ; 0) ;M( - ; 0)

Lời giải:

Đáp án: A

Trả lời:

Phương trình ( AB):

⇒ ( AB) : 4( x - 3) + 3( y + 1) = 0 hay 4x + 3y - 9 = 0

Gọi điểm M thuộc trục hoành có tọa độ là ( x; 0) .

Để khoảng cách từ M đến AB bằng 1 thì:

1 = d( M; AB) = ⇔|4x - 9| = 5

⇔

Câu 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(3; 0) và B( 0; -4) . Tìm điểm M thuộc trục tung sao cho diện tích tam giác MAB bằng 6

A. M(0; 0) hoặc M(0; -8)    B. M(0; - 8)    C. M(6; 0)    D. M(0; 0)

Lời giải:

Đáp án: A

Trả lời:

+ Phương trình AB theo đoạn chắn : = 1 hay -4x + 3y + 12 = 0

+ AB = = 5

+ Gọi điểm M( 0; y) thuộc trục tung.

⇒ khoảng cách từ M đến AB là d( M; AB) =

Để diện tích tam giác MAB là 6 thì:

S = .AB.d( M; AB) = 6 ⇔ .5. = 6

⇔ |3y + 12| = 12 ⇒

Vậy có hai điểm M thỏa mãn là M(0; 0 ) hoặc M ( 0; -8)

Câu 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng (a): 3x - 2y - 6 = 0 và
(b) : 3x – 2y + 12 = 0. Tìm điểm M thuộc trục hoành sao cho M cách đều hai đường thẳng đã cho.

A. M( -2; 0)    B. M(-1; 0)    C. M(1; 0)    D. M(0; 0)

Lời giải:

Đáp án: B

Trả lời:

D0 M thuộc trục hoành nên tọa độ M (x; 0)

Khoảng cách từ M đến hai đường thẳng là:

d( M; a) = và d( M; b) =

Để điểm M cách đều hai đường thẳng a và b thì:

= ⇔ |3x - 6| = |3x + 12|

⇔3x - 6 = - 3x - 12 ⇔x = -1

⇒ Điểm M ( -1; 0) .

Câu 8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 2) ; B( 0; 3) và đường thẳng d: y = 2. Tìm điểm C thuộc d sao cho tam giác ABC cân tại B

A. C(1; 2)    B. C(4; 2)    C. C(1; 2) hoặc C( -1; 2)    D. C(-1; 2)

Lời giải:

Đáp án: C

Trả lời:

Gọi toạ độ của điểm C( x; y) .

Do C thuộc d nên y = 2. (1)

Ta có: BA² = (1 - 0)² + (2 - 3)² = 2 và BC² = x² + (y - 3)²

Để tạm giác ABC cân tại B thì BA = BC ⇔ BA² = BC²

⇔ 2 = x² + (y - 3)² (2)

Từ ( 1) và (2) ta có hệ phương trình :

⇒ Có hai điểm C thỏa mãn đầu bài là C( 1; 2) hoặc C( -1; 2)

Câu 9: Phương trình của đường thẳng qua P(2; 5) và cách Q(5; 1) một khoảng bằng 3 là:

A. 7x + 24y - 13 = 0 .    B. x = 2

C. x = 2 hoặc 7x + 24y – 134 = 0 .    D. 3x + 4y - 5 = 0

Lời giải:

Đáp án: C

Trả lời:

+ Đường thẳng ∆ qua P( 2; 5) và có VTPT n→( a; b) .

⇒ Phương trình ∆: a(x - 2) + b(y - 5) = 0 hay ax + by – 2a – 5b = 0

+ Khoảng cách từ điểm Q đến ∆:

d(Q, ∆) = 3 ⇔ = 3 ⇔ |3a - 4b| = 3.

⇔ -24ab + 7b² = 0 ⇔

+ Với b = 0, chọn a = 1 thì phương trình ∆ : x - 2 = 0.

+ Với b = a , chọn a = 7⇒ b = 24 phương trình ∆ : 7x + 24y - 134 = 0

Câu 10: Cho hai điểm A(3; -1) và B(0; 3) . Tìm tọa độ điểm M trên trục Ox sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng AB?

A. ( -4; 0); (-3,5; 0)    B. (2; 0) và (1; 0)    C. (4; 0)    D. (-4; 0) ; ( 8,5; 0)

Lời giải:

Đáp án: D

Trả lời:

+ Ta gọi tọa độ điểm M nằm trên trục Ox là M( a ; 0)

+ Phương trình đường thẳng AB :

⇒ Phương trình AB : 4(x - 3) + 3(y + 1) = 0 hay 4x + 3y - 9 = 0

+ Độ dài đoạn AB = = 5

+ Để khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng AB thì d( M; AB) = 5

⇔ = 5 ⇔|4a - 9| = 25

⇔

Vậy có hai điểm M thỏa mãn là M ( 8,5; 0) và M( -4; 0) .

Câu 11: Cho hai điểm A( 2; 3) và B(1; 4). Đường thẳng nào sau đây cách đều hai điểm A; B?

A. x - y + 2 = 0    B. x - y + 100 = 0    C. x + 2y = 0    D. 2x - y + 10 = 0.

Lời giải:

Đáp án: A

Trả lời:

Cách 1: Gọi d là đường thẳng cách đều 2 điểm A và B ta có:

M(x; y) ∈ d ⇔ MA = MB ⇔ MA² = MB²

⇔ (x - 2)² + (y - 3)² = ( x - 1)² + (y - 4)²

⇔ x² - 4x + 4 + y² – 6y + 9 = x² - 2x + 1 + y² - 8y + 16

⇔2x - 2y + 4 = 0 hay x - y + 2 = 0

Cách 2: Gọi I là trung điểm của đoạn AB ⇒ I( ; )

Gọi d là đường thẳng cách đều 2 điểm A và B suy ra d là đường trung trực của đoạn AB hoặc d// AB.

+ Viết đường trung trực d của AB :

⇒ d đi qua I( ; ) và nhận AB→( -1; 1) làm VTPT

⇒ d: -(x - ) + (y - ) = 0 ⇒ d: -x + y - 2 = 0

+ Viết đường thẳng d’ song song với AB.

⇒ d’ nhận AB→( -1 ;1) làm VTCP và VTPT là n→(1 ; 1)

⇒ (d’) có dạng :x + y + c = 0.

Trong các phương án chỉ có phương án A thỏa mãn.

Câu 12: Tìm tọa độ điểm M nằm trên trục Ox và cách đều 2 đường thẳng
(a): 2x - 3y + 4 = 0 và (b): 2x + 3y + 2 = 0

A. ( ; 0)    B. ( ; 0)    C. (1; 0)    D. ( - ; 0)

Lời giải:

Đáp án: D

Trả lời:

Điểm M nằm trên trục Ox nên tọa độ điểm M ( a ; 0) .

Khoảng cách từ M đến hai đường thẳng là :

d(M ; a) = và d(M ; b) =

Để M cách đều hai đường thẳng (a) và (b) khi và chỉ khi :

=

⇔ |2a + 4|= |2a + 2| ⇔

⇒ Điểm M( - ; 0)