Cách tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng cực hay - Toán lớp 10
Cách tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng cực hay
Với Cách tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng cực hay Toán lớp 10 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 10.
A. Phương pháp giải
Cho trước điểm A(x0; y0) và phương trình đường thẳng d: ax + by + c = 0 có VTPT
n→( a; b). Tìm hình chiếu của điểm A lên đường thẳng d:
+ Bước 1: Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng d.
+ Bước 2: Lập phương trình tổng quát của AH
AH: 
⇒ phương trình AH: b(x - x0) - a(y - y0) = 0
+ Bước 3: AH và d cắt nhau tại H nên tọa độ điểm H là nghiệm hệ phương trình:
Từ hệ phương trình trên ta suy ra tọa độ điểm H.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho điểm A( 1; 2) và đường thẳng (d): x + 2y - 3 = 0 .Tìm hình chiếu của A lên đường thẳng d.
A. ( 1; -2)
B. (- 
; 
)
C. (
; 
)
D. Đáp án khác
Lời giải
+ Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng (d) .
+ Lập phương trình đường thẳng AH:
(AH) : 
⇒ Phương trình ( AH) : 2(x - 1) – 1.( y - 2) = 0 hay 2x - y = 0
+ Hai đường thẳng AH và d cắt nhau tại H nên tọa độ điểm H là nghiệm hệ phương trình:
Chọn C.
Ví dụ 2: Cho điểm A( 2; 0) và đường thẳng d: x + y - 2 = 0. Tìm hình chiếu của điểm A lên đường thẳng d.
A. ( 2; -1) B. (2; 0) C. (1; -2) D. (-2; -1)
Lời giải
Ta có: 2 + 0 - 2 = 0 nên điểm A thuộc đường thẳng d.
⇒ Hình chiếu của điểm A lên đường thẳng d chính là điểm A.
Chọn B.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có A( 0; -2).Gọi I ( 2; 4) là trung điểm của AB và J( -4; 2) là trung điểm của AC. Gọi hình chiếu của điểm A lên BC là H. Viết phương trình đường thẳng AH?
A. 6x + 2y - 3 = 0 B. 6x + 2y + 4 =0 C. 2x - y + 1 = 0 D. Tất cả sai
Lời giải
+ Do I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC nên IJ là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ IJ// BC ( 1) .
+ Do H là hình chiếu của A lên BC
⇒ AH vuông góc BC (2).
Từ(1) và ( 2) suy ra: AH vuông góc IJ
+ Lập phương trình AH: 
⇒ ( AH): 6(x - 0) + 2( y + 2) = 0 hay 6x + 2y + 4 = 0.
Chọn B.
Ví dụ 4: Toạ độ hình chiếu của M(4; 1) trên đường thẳng ∆: x - 2y + 4 = 0 là:
A. ( 14; -19)
B. ( 2; 3)
C. (
; 
)
D. (-
;
)
Lời giải
+ Đường thẳng ∆ có 1 VTPT n→(1; -2)
Gọi H( 2t - 4; t) là hình chiếu của M trên đường thẳng ∆ thì MH→(2t - 8; t - 1)
⇒ Hai vecto MH→ và n→(2; -3) cùng phương nên:
⇒ H(
;
)
Chọn C.
Ví dụ 5: Cho đường thẳng ∆: 
và điểm M(3; 3) . Tọa độ hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng ∆ là:
A. (4; -2) B. (1; 0) C. (-2; 2) D. (7; -4)
Lời giải
Gọi H là hình chiếu của M trên ∆.
Ta có: H ∈ ∆ ⇒ H(1 + 3t; - 2t), MH→ = (- 2 + 3t; - 3 - 2t)
Đường thẳng có vectơ chỉ phương là u→( 3; -2) .
Do H là hình chiếu vuông góc của M trên ∆ nên hai đường thẳng MH và ∆ vuông góc với nhau
⇒ MH→.u→ = 0 ⇔ 3( -2 + 3t ) – 2( -3 - 2t) = 0
⇔ -6 + 9t + 6 + 4t = 0 ⇔ 13t = 0 ⇔ t = 0
⇒ H ( 1; 0)
Chọn B.
Ví dụ 6: Tìm hình chiếu của A( 3;-4) lên đường thẳng d: 
A. ( 1; 2) B. (4; -2) C. ( -1; 2) D. ( -1; -3)
Lời giải
+ Lấy điểm H(2 + 2t; -1 - t) thuộc d.
Ta có AH→ = (2t - 1; -t + 3)
Vectơ chỉ phương của d là u→( 2; -1)
+Do H là hình chiếu của A trên d
⇔ AH ⊥ d ⇔ u→.AH→ = 0 ⇔ 2(2t - 1) - (- t + 3) = 0 ⇔ t = 1
+ Với t = 1 ta có H( 4; -2)
Vậy hình chiếu của A trên d là H( 4; -2).
Chọn B.
Ví dụ 7: Cho đường thẳng ∆: 
. Hoành độ hình chiếu của M( 4; 5) trên ∆ gần nhất với số nào sau đây ?
A. 1,1 B. 1,2 C. 1,3 D. 1,5
Lời giải
Gọi H là hình chiếu của M trên ∆.
Ta có: H ∈ ∆ nên H( 2 - 3t; 1 + 2t) và MH→( -2 - 3t; -4 + 2t)
Đường thẳng ∆có vectơ chỉ phương là u→(3; - 2) .
u→ ⊥ MH→ ⇔ u→.MH→ = 0 ⇔ 3(-2 - 3t) - 2(-4 + 2t) = 0 ⇔ -13t + 2 = 0 ⇔
t = 
⇒ H(
; 
)
⇒ Hoành độ của điểm H là
.
Chọn D.
Ví dụ 8: Cho tam giác BAC có AB = 3; BC = 3√3 và góc B = 300.Gọi H là hình chiếu của A lên BC. Tìm mệnh đề đúng?
A. H nằm trong đoạn BC thỏa mãn: BH = 2 HC
B. AH = 
.
C. BH = 2.
D. Tất cả sai
Lời giải
+ Áp dụng định lí cosin vào tam giác ABC ta có:
AC2 = AB2 + BC2 – 2.AC.BC.Cos B
= 32 + (3√3 )2 - 2.3.3√3.cos300 = 9
⇒ AC = 3 nên AB = AC = 3
⇒ Tam giác BAC cân tại A.
+ AH là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến
⇒ H là trung điểm của BC: BH = CH = 
+ Xét tam giác vuông AHB có: AH = AB.sinB = 3.sin300 = 1,5.
Chọn B.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho điểm A( -1; 2) và đường thẳng ∆:
. Tìm điểm M trên ∆ sao cho AM ngắn nhất.
A. ( 1; -3) B. ( 1; 3) C. (0; 5) D. (4; 0)
Lời giải:
Đáp án: C
Trả lời:
Lấy điểm M ( t - 2; - t - 3) thuộc ∆
⇒ AM = 
Ta có: ( t + 2)2 ≥ 0 với mọi t nên 2( t + 2)2 + 18 ≥ 18
⇒ AM = 
⇒ AM ngắn nhất là √18 khi và chỉ khi : t + 2 = 0 hay t = 2.
Khi đó tọa độ điểm M( 0 ; 5) .
Câu 2: Toạ độ hình chiếu của M(4; 1) trên đường thẳng d: x - 2y + 4 = 0 là:
A. (
; 
)
B. (
; 
)
C. (
; 
)
D. (
; 
)
Lời giải:
Đáp án: C
Trả lời:
Đường thẳng d có 1 VTPT n→(1; -2).
Gọi H( 2t - 4; t) là hình chiếu của M( 4; 1) trên đường thẳng d thì MH→(2t – 8; t - 1)
Và n→(1; -2) cùng phương khi và chỉ khi
→ H(
;
).
Câu 3: Cho tam giác ABC có A(1; 3).Gọi I(2; 1) là trung điểm của AB và J( -1; 0) là trung điểm của AC. Gọi hình chiếu của điểm A lên BC là H ( x; y). Tính x + 2y?
A. 0 B. - 1 C. 2 D. 3
Lời giải:
Đáp án: A
Trả lời:
+ Do I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC nên IJ là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ IJ// BC ( 1) .
+ Do H là hình chiếu của A lên BC
⇒ AH vuông góc BC (2).
Từ(1) và ( 2) suy ra: AH vuông góc IJ
+ Lập phương trình AH: 
⇒ ( AH): - 3( x - 1) – 1( y - 3) = 0 hay 3x + y - 6 = 0.
+ Phương trình IJ: 
⇒ Phương trình IJ: 1( x - 2) – 3( y - 1) = 0 hay x - 3y + 1 = 0.
+ Gọi giao điểm của IJ và AH là M. Tọa độ điểm M là nghiệm hệ :
+ Lại có M là trung điểm AH ( vì MI // BH và I là trung điểm AB)
⇒ Tọa độ điểm H: 
⇒ x + 2y = 0
Câu 4: Toạ độ hình chiếu của M(- 2; 1) trên đường thẳng ∆: 2x - y + 4 = 0 là:
A. ( 
; - 
)
B. ( 
; 
)
C. ( -
;
)
D. (1; 0)
Lời giải:
Đáp án: C
Trả lời:
+ Đường thẳng ∆ có 1 VTPT n→( 2; -1)
Gọi H( t; 2t + 4) là hình chiếu của M trên đường thẳng ∆ thì MH→( t + 2; 2t + 3)
⇒ Hai vecto MH→ và n→( 2; -1) cùng phương nên:
⇔ - t - 2 = 4t + 6 ⇔ t = -
⇒ Tọa độ điểm H( -
;
)
Câu 5: Cho đường thẳng ∆: 
và điểm M(2; -3). Tọa độ hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng ∆ là:
A. (4; -2) B. (-0,8; -4,4) C. (-2,2; 4) D. (7; -4,4)
Lời giải:
Đáp án: B
Trả lời:
Gọi H là hình chiếu của M trên ∆.
Ta có: H thuộc ∆ nên H( -3 + t ; -2t) ⇒ MH→( t - 5 ; 3 - 2t)
Đường thẳng có vectơ chỉ phương là u→( 1; -2) .
Do H là hình chiếu vuông góc của M trên ∆ nên hai đường thẳng MH và ∆ vuông góc với nhau
⇒ MH→ . u→ = 0 ⇔ 1(t - 5) – 2( 3 - 2t) = 0
⇔ t - 5 - 6 + 4t = 0 ⇔ 5t = 11 ⇔ t = 2,2
⇒ H (- 0,8; - 4,4)
Câu 6: Tìm hình chiếu của A( 1; 2) lên đường thẳng d: x - 3y + 6 = 0
A. H( 1; 2)
B. H( 
; 
)
C. H( 
;
)
D. H( 
; 
)
Lời giải:
Đáp án: B
Trả lời:
+ Lấy điểm H(3t - 6; t) thuộc d.
Ta có AH→( 3t - 7; t - 2)
Vectơ pháp tuyến của d là u→( 1; -3)
+Do H là hình chiếu của A trên d nên hai vecto AH→ và u→ cùng phương :
⇔ 
⇔ - 3( 3t - 7) = 1(t - 2)
⇔ - 9t + 21 = t - 2 ⇔ t =
+ Với t =
ta có H(
;
)
Câu 7: Cho đường thẳng ∆: 
. Hoành độ hình chiếu của M(1; 2) trên ∆ gần nhất với số nào sau đây ?
A. -0,56 B. 0,32 C. 1,3 D. 0,85
Lời giải:
Đáp án: D
Trả lời:
Gọi H là hình chiếu của M trên ∆.
Ta có: H ∈ ∆ nên H( 2 - 3t; 1 + 2t) và MH→( 1 - 3t; 2t - 1 )
Đường thẳng ∆có vectơ chỉ phương là u→(3; - 2) .
Hai vecto MH→ và u→ vuông góc với nhau nên : MH→ . u→ = 0
⇔ 3( 1 - 3t) – 2( 2t - 1) = 0 ⇔ 3 - 9t - 4t + 2 = 0
⇔ t = 5/13
⇒ Hoành độ của điểm H là 2 - 3t = 11/13
Câu 8: Cho tam giác ABC có AB = 4; BC = 4√2 và góc B = 450.Gọi H là hình chiếu của A lên BC. Tìm mệnh đề đúng?
A. H nằm trong đoạn BC thỏa mãn: BH = 3HC
B. AH = 2
C. BH = 2.
D. H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Lời giải:
Đáp án: D
Trả lời:
+ Áp dụng định lí cosin vào tam giác ABC ta có:
AC2 = AB2 + BC2 – 2.AC.BC.CosB
= 42 + (4√2)2 - 2.4.4√2.cos450 = 16
⇒ AC = 4 nên AB = AC = 4 và AB2 + AC2 = BC2
⇒ Tam giác ABC vuông cân tại A.
+ AH là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến
⇒ H là trung điểm của BC: AH = BH = CH = BC/2 = 2√2
⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
